二叉树重建[UVA-536]
二叉树重建Tree Recovery(UVA-536,ULM1997)
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分别是书上习题6-3，涉及到二叉树这一数据结构中已知两种遍历求整个树的过程。
首先需要复习一下二叉树的前序遍历和中序遍历和后序遍历。二叉树的前序遍历是指，先输出根结点的值，然后依次递归调用遍历左右子树；中序遍历是指，先递归遍历左子树，然后输出根结点的值，然后递归遍历右子树；后续遍历是指，先递归遍历左右子树，然后输出根结点的值。下面的解题分析都是以此为基础的。
以第一个样例输入为例：
先序遍历：DBACEGF
中序遍历：ABCDEFG
前面提到，前序遍历首先会输出当前子树的根结点，因此位于前序遍历的第一个元素D，一定是当前树的根。而在中序遍历中，根在中间输出，因而在中序遍历中查找根D，将整个中序遍历分为了两大部分：分别是树的左子树和右子树，如下所示
D
/ \
(ABC) (EFG)
那左右子树又该如何得到呢？很容易想到用递归的方法来构建，也就是利用了自顶向下的求解思路。左右子树的中序遍历很容易得到（利用找到的根的位置将其一分为二），而如何得到在原前序遍历中的子树呢？我们知道，前序遍历在输出根结点后，依次输出其左右的结点，所以关键的一步在于确定左右子树的结点个数。而利用之前中序遍历找到的根的位置，不难确定其个数。因此整个重建的算法就很明了了。剩下的问题就是如何确定递归出口。也很简单，只要输入时的数组只有一个元素，即对应的树没有孩子，那么该结点实际就是原树的一个叶子，递归也就结束了。整个过程的时间为$O(n^2)$。
我的的C++代码如下：（我的二叉树是按照《算法导论》一书中的描述定义的，包含了父节点。所以需要额外的处理一下。）
1 #include<iostream> 2 #include<algorithm> 3 #include<cstring> 4 template<typename T> 5 struct treenode 6 { 7 T value; 8 treenode * leftchild; 9 treenode * rightchild; 10 treenode * parent; 11 treenode() 12 { 13 value = 0; leftchild = rightchild = parent = nullptr; 14 } 15 treenode(int v) :value(v) 16 { 17 leftchild = rightchild = parent = nullptr; 18 } 19 }; 20 template<typename T> 21 int search(T A[], T value, int size) 22 { 23 int i; 24 for (i = 0; i < size; i++) 25 if (A[i] == value) 26 return i; 27 return -1; 28 } 29 template<typename T> 30 treenode<T> * treerecovery(T inorder[], T postorder[], int size) 31 { 32 if (size == 1) 33 return new treenode<T>(inorder[0]); 34 int pos = search(inorder, postorder[0], size); 35 treenode<T> * ptleft = nullptr; 36 treenode<T> * ptright = nullptr; 37 treenode<T> * ptthis = new treenode<T>(postorder[0]); 38 if (pos != 0) 39 { 40 41 ptleft = treerecovery(inorder, postorder + 1, pos); 42 ptleft->parent = ptthis; 43 } 44 if (pos != size - 1) 45 { 46 ptright = treerecovery(inorder + pos + 1, postorder + pos + 1, size - pos - 1); 47 ptright->parent = ptthis; 48 } 49 ptthis->leftchild = ptleft; 50 ptthis->rightchild = ptright; 51 return ptthis; 52 } 53 template<typename T> 54 void traversep(treenode<T> * tn) 55 { 56 if (tn == nullptr) 57 return; 58 treenode<T> * pt = tn; 59 traversep(tn->leftchild); 60 traversep(tn->rightchild); 61 std::cout << tn->value; 62 } 63 int main() 64 { 65 #define TMAX 30 66 char A[TMAX]; 67 char B[TMAX]; 68 while (std::cin >> A) 69 { 70 std::cin >> B; 71 int len = strlen(A); 72 treenode<char> * tree = treerecovery(B, A, len); 73 traversep(tree); 74 std::cout << std::endl; 75 } 76 return 0; 77 }
需要说明的是，必须要有中序遍历，才能够确定唯一的二叉树。换言之，只有前序和后序遍历是无法得到唯一确定的二叉树的。为什么呢？理由很简单，没有办法确定这个树左右节点是不是满的。以输入用例为例，只知道根节点D，剩余的元素，完全可以作为单纯的左子树或者右子树，也可以作为两支。
