leetcode-300.最长递增子序列

动态规划(dp)

子序列问题

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题目详情

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。
子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

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示例1：

输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

示例2:

输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4

示例3:

输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：1

思路:
dp[i]表示以i结尾的最长子序列的长度
对于每一个位置 i，如果其之前的某个位置 j 所对应的数字小于位置 i 所对应的数字，则我们可以获得一个以 i 结尾的、长度为 dp[j]+ 1 的子序列。为了遍历所有情况，我们需要 i 和 j 进行两层循环，其时间复杂度为 O(n2)。

我的代码：

class Solution 
{
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) 
    {
        int n = nums.size(), max_len = 0;
        if (n == 1) return 1;
        vector<int> dp(n + 1, 1);
        for (int i = 0; i < n; ++i)
        {
            for (int j = 0; j < i; ++j)
            {
                if (nums[i] > nums[j])
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
            }
            max_len = max(max_len, dp[i]);
        }
        return max_len;
    }
};

还有一种复杂度更小的方法:
定义一个 dp 数组，其中 dp[k]存储长度为 k+1 的最长递增子序列的最后一个数字。我们遍历每一个位置 i，如果其对应的数字大于 dp 数组中所有数字的值，那么我们把它放在 dp 数组尾部，表示最长递增子序列长度加 1；
如果我们发现这个数字在 dp 数组中比数字 a 大、比数字 b 小，则我们将 b 更新为此数字，使得之后构成递增序列的可能性增大。以这种方式维护的 dp 数组永远是递增的，因此可以用二分查找加速搜索。

class Solution 
{
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) 
    {
        int n = nums.size(), max_len = 0;
        if (n == 1) return 1;
        vector<int> dp;
        dp.push_back(nums[0]);
        for (int i = 1; i < n; ++i)
        {
            if (dp.back() < nums[i])
            dp.push_back(nums[i]);
            else
            {
                auto itr = lower_bound(dp.begin(), dp.end(), nums[i]);
                *itr = nums[i];
            }
        }
        return dp.size();
    }
};

涉及知识点:

1.动态规划(dp)

2.子序列问题

对于子序列问题，第一种动态规划方法是，定义一个 dp 数组，其中 dp[i] 表示以 i 结尾的子序列的性质。在处理好每个位置后，统计一遍各个位置的结果即可得到题目要求的结果。