最小公倍数与最大公约数算法

lcd lcm

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利用辗转相除法，我们可以很方便地求得两个数的最大公因数（greatest common divisor，gcd）；
将两个数相乘再除以最大公因数即可得到最小公倍数（least common multiple, lcm)

int gcd(int a, int b)
{ 
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}
int lcm(int a, int b)
{
    return a * b / gcd(a, b);
}

进一步地，我们也可以通过扩展欧几里得算法（extended gcd）在求得 a 和 b 最大公因数的同
时，也得到它们的系数 x 和 y，从而使 ax + by = gcd(a, b)。


如何才能求得系数x和y呢,我们分析,gcd(a, b)和gcd(a, a%b)是相等的
从而我们得到ax+by = ax1+(a%b)y1我们对a%b进行转化进一步得到:
ax+by = ax1+(a-a/b*b)y1(a/b是a➗b的整数部分,乘以b又得到a-a%b,再用a减它即可得到a%b)
再进一步化简得到:ax+by = ay1+b(x1-a/b*y1)所以我们可以对应得到:
x=y1 y=x1-a/b*y1得到这个关系之后呢,在辗转相除法里我们得知我们是经过gcd(a,b) = gcd(a, a%b)递归得到的最终结果.最终b会变为0.此时x = 1,y = 0,那我们不妨倒推,将最初的x1 = 1和y1 = 0,然后反过来递归,每次都把上次得到的x和y变为x1 y1,然后最后得到x和y,具体代码如下:

int xGCD(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if (!b)   //递归终点,当b为0时
    {
        x = 1, y = 0;
        return a; 
    }
    int x1, y1, gcd = xGCD(b, a % b, x1, y1); //递归起点
    x = y1, y = x1 - (a / b) * y1;  //从下到上回溯 由x1和y1求得x和y
    return gcd;
}