2021-2022-1 20211428《信息安全专业导论》第2周学习总结

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作业目标：1.自学教材《计算机科学概论》第一章、第十八章；2.《看漫画学python》第一章 3. 完成云班课第二周测试题 4.学习Linux基础课程

教材内容学习总结

一.关于《计算机科学概论》：学习了计算机历史，硬件的组成和一些专有名词。通过第十八章学习了不同算法的比较，还有一些检查错误的方法，还有bug的由来。

二.《看漫画学python》：学习了python的发展历史，安装了python，尝试了hello world的代码编写。

教材学习中的问题和解决过程

问题1：学习过程中很多英文看不懂，难以理解题目中想要表达的意思。

解决：通过翻译软件翻译

问题2：停机问题为什么不能解决：

解决：任给一段程序，尝试判断它开始运行之后是否能安全结束，这个问题就是停机问题。停机问题是否可解，也就是说是否存在一个图灵机，能判断一个程序是否最终能结束。

为了方便下文叙述，我们先给出一个图灵计算的谓词： $T^A(z,x_1,\cdots,x_n,y)$ 表示图灵机 $z$ 使用 $x_1,\cdots,x_n$ 作为输入，是否最终能获得一个计算 $y$ 。这里的 $y$ 并不是单纯指计算的最终结果，而是整段程序的单步执行过程的集合。《Computability and Unsolvability》一书花了好几页冗长但并不算很复杂的篇幅，证明了这个 $T^A$ 是原始递归（primitive recursive）的。证明的全过程就是把图灵机的每个计算方式（左移、右移、读、写）拆出来分析，并且指出它们都是原始递归的，所以组合之后还是原始递归的。

原始递归指的是一个函数可以通过函数组合（例如 $f(g_1(x),\cdots,g_n(x))$ ），或者简单递推（例如 $f(x)$ 只能由 $f(x-1)$ 计算得到）分解成四种简单计算： $U_n^i(x_1,\cdots,x_n)$ （从一个tuple中选择 $x_i$ ）， $C_A(x)$ （查看 $x$ 是否在集合 $A$ 内）， $N(x)=0$ ， $S(x)=x+1$ 得到。例如， $n!$ 就是一个原始递归的函数。简单地说，原始递归就比较容易计算的一类函数。

可是 $T^A$ 是原始递归的不代表停机问题就可解了。这个好理解，给了一段程序和它的输入，我们可以一步一步单步执行，一点一点检查 $y$ 和执行的中间过程是否符合。但是这不意味着我们能知道一个图灵机最后是否能结束。

停机问题的形式化描述是一个谓词 $\vee_y T^A(z,x_1,\cdots,x_n,y)$ ，即枚举 $y$ 来查看图灵机是否能结束。我们现在要看这个谓词是不是可解的。

一个谓词 $P(x)$ 如果是可解的话（即有一个图灵机能计算这个谓词），那么 $P(x)$ 和 $\sim P(x)$ 都是半可解（semicomputable）的。半可解的谓词指这个谓词 $P(x)$ 恰好能判断 $x$ 是否使得一个图灵机停机，通俗地说， $P(x)$ 标注了一个图灵机 $z_0$ 的定义域。

如果停机问题可解的话，那么我们可以举出一个实例： $\vee_y T^A(x,x,y)$ 也是可解的。既然 $\vee_y T^A(x,x,y)$ 是可解的，那么 $\sim \vee_y T^A(x,x,y)$ 就是半可解的喽，那这个取反就标定了一个图灵机 $z_0$ 的定义域。因此， $\sim \vee_y T^A(x,x,y)=\vee_y T^A(z_0,x,y)$ 。如果把 $x=z_0$ 带进去，我们就发现了一个悖论。那么把 $x$ 这个图灵机输入它自己的代码本身就是不能判断是否停机的，我们也就发现一个的确不可解的case。