欧拉函数

欧拉函数：
就是对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数（包括1）的个数，记作φ(n) 。欧拉函数的通式：φ(n)=n*(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)*(1-1/p4)……(1-1/pn)，其中p1, p2……pn为n的所有质因数，n是不为0的整数。φ(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）。

关于欧拉函数有如下几点性质：

1、phi(1) = 1

2、若n是质数，那么phi(n) = n-1

3、若n是质数x的k次幂，phi(n) = (x-1)*x^(k-1)

4、若m，n互质，那么phi(m*n) = phi(m)*phi(n)

5、若n是奇数，那么phi(2*n) = phi(n)

6、若x，y是质数，且n = x*y，那么phi(n) = (x-1)*(y-1)

6、小于n且与n互质的数的和为：n/2 * phi(n)

7、b mod a = 0, phi[a*b]=phi[b]*a

可以得到一个在分解质因数时同时求解单个欧拉函数的方法

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int main() {
    int n, ans;
    cin >> n;
    ans = n;
    for (int i = 2; i * i <= n; ++i)
        if (n % i == 0)
        {
            ans = ans / i * (i - 1);
            while (n % i == 0)
                n /= i;
        }
    if (n > 1)
        ans = ans / n * (n - 1);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

 筛法求欧拉函数：

φ(n)=n*（1-1/p1)(1-1/p2)....(1-1/pk),其中p1、p2…pk为n的所有素因子。
比如：φ(12)=12*(1-1/2)(1-1/3)=4。
利用这个就比较好求了，可以用类似求素数的筛法。
先筛出N以内的所有素数，再以素数筛每个数的φ值。
比如求10以内所有数的φ值：
设一数组phi[11]，赋初值phi[1]=1,phi[2]=2...phi[10]=10；
然后从2开始循环，把2的倍数的φ值*(1-1/2)，则phi[2]=2*1/2=1,phi[4]=4*1/2=2,phi[6]=6*1/2=3....；
再是3，3的倍数的φ值*(1-1/3)，则phi[3]=3*2/3=2,phi[6]=3*2/3=2，phi[9]=.....；
再5，再7...因为对每个素数都进行如此操作，因此任何一个n都得到了φ(n)=n*（1-1/p1)(1-1/p2)....(1-1/pk)的运算
觉得这个“筛”还是比较好用的，也好理解！

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;

#define MAX 10
ll phi[MAX];

int main() {
    phi[1] = 1;
    for (int i = 2; i < MAX; i++) {
        phi[i] = i;
    }
    for (int i = 2; i < MAX; i++) {
        if (phi[i] == i) { //说明此时的i是素数
            for (int j = i; j < MAX; j += i) {
                phi[j] = phi[j] / i * (i - 1); //每个素数倍数的欧拉值乘(1-1/i)
            }
        }
    }
    for (int i = 1; i < MAX; i++)
        cout << "phi[" << i << "]=" << phi[i] << endl;
    return 0;
}