棋盘覆盖问题（分治法）

问题

在一个2^k×2^k (k≥0)个方格组成的棋盘中，恰有一个方格与其他方格不同，称该方格为特殊方格。显然，特殊方格在棋盘中可能出现的位置有4^k种，因而有4^k种不同的棋盘，图4.10(a)所示是k=2时16种棋盘中的一个。棋盘覆盖问题(chess cover problem)要求用图4.10(b)所示的4种不同形状的L型骨牌覆盖给定棋盘上除特殊方格以外的所有方格，且任何2个L型骨牌不得重叠覆盖。

想法

如何应用分治法求解棋盘覆盖问题呢?分治的技巧在于如何划分棋盘，使划分后的子棋盘的大小相同，并且每个子棋盘均包含一个特殊方格，从而将原问题分解为规模较小的棋盘覆盖问题。k>0时，可将2^k×2^k的棋盘划分为4个2^(k-1)×2^(k-1)的子棋盘，如图4.11(a)所示。这样划分后，由于原棋盘只有一个特殊方格，所以，这4个子棋盘中只有一个子棋盘包含该特殊方格，其余3个子棋盘中没有特殊方格。为了将这3个没有特殊方格的子棋盘转化为特殊棋盘，以便采用递归方法求解，可以用一个L型骨牌覆盖这3个较小棋盘的会合处，如图4.11(b)所示，从而将原问题转化为4个较小规模的棋盘覆盖问题。递归地使用这种划分策略，直至将棋盘分割为1×1的子棋盘。

//棋盘覆盖问题
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
using namespace std;
int board[1025][1025];
static int tile = 1;

void ChessBoard(int tr,int tc,int dr,int dc,int size){
    if( size == 1 )
        return ;
        
    int t = tile++;
    int s = size/2;
    
    if( dr<tr+s && dc<tc+s )
        ChessBoard(tr,tc,dr,dc,s);
    else{
        board[tr+s-1][tc+s-1] = t;
        ChessBoard(tr,tc,tr+s-1,tc+s-1,s);
    }
    
    if( dr<tr+s && dc>=tc+s )
        ChessBoard(tr,tc+s,dr,dc,s);
    else{
        board[tr+s-1][tc+s] = t;
        ChessBoard(tr,tc+s,tr+s-1,tc+s,s);
    }
    
    if( dr>=tr+s && tc<tc+s )
        ChessBoard(tr+s,tc,dr,dc,s);
    else{
        board[tr+s][tc+s-1] = t;
        ChessBoard(tr+s,tc,tr+s,tc+s-1,s);
    }
    
    if( dr>=tr+s && dc>=tc+s )
        ChessBoard(tr+s,tc+s,dr,dc,s);
    else{
        board[tr+s][tc+s] = t;
        ChessBoard(tr+s,tc+s,tr+s,tc+s,s); 
    }
    
}

int main(){
    int k;
    while( scanf("%d",&k) != EOF ){
        int size = 1<<k;
        int x,y;
        cin>>x>>y;//特殊方格的位置
        ChessBoard(0,0,x,y,size);
        for( int i = 0; i < size; i++ ){
            for( int j = 0; j < size; j++ )
                printf("%d\t",board[i][j]);
            cout<<endl;
        }
        cout<<endl;             
    }
    return 0;
}