剑指offer-连续子数组的最大和：动态规划及优化、贪心法、分治法（JavaScript实现）

虽然这题在 leetcode 上标注的是「简单」难度，但是解法有 4 种，并且都非常具有代表性。比较容易想到的是基础的动态规划法。

解法 1：动态规划

定义状态数组dp[i]的含义：数组中元素下标为[0, i]的连续子数组最大和。

状态转移的过程如下：

• 初始情况：dp[0] = nums[0]
• 若 nums[i] > 0，那么 dp[i] = nums[i] + dp[i - 1]
• 若 nums[i] <= 0，那么 dp[i] = nums[i]

代码实现如下：

// ac地址：https://leetcode-cn.com/problems/maximum-subarray/
// 原文地址：https://xxoo521.com/2020-03-09-max-sub-sum/
/**
 * @param {number[]} nums
 * @return {number}
 */
var maxSubArray = function(nums) {
    const dp = [];

    let res = (dp[0] = nums[0]);
    for (let i = 1; i < nums.length; ++i) {
        dp[i] = nums[i];
        if (dp[i - 1] > 0) {
            dp[i] += dp[i - 1];
        }
        res = Math.max(res, dp[i]);
    }
    return res;
};

时间复杂度和空间复杂度都是\(O(N)\)。

解法 2：原地进行动态规划

解法 1 中开辟了 dp 数组。其实在原数组上做修改，用nums[i]来表示dp[i]。所以解法 1 的代码可以优化为：

// ac地址：https://leetcode-cn.com/problems/maximum-subarray/
// 原文地址：https://xxoo521.com/2020-03-09-max-sub-sum/
/**
 * @param {number[]} nums
 * @return {number}
 */
var maxSubArray = function(nums) {
    let res = nums[0];
    for (let i = 1; i < nums.length; ++i) {
        if (nums[i - 1] > 0) {
            nums[i] += nums[i - 1];
        }
        res = Math.max(res, nums[i]);
    }
    return res;
};

不用开辟额外空间，所以空间复杂度降为\(O(1)\)。

解法 3：贪心法

贪心法的题目比较少见，而且一般都比较难证明。本题的贪心法的思路是：在循环中找到不断找到当前最优的和 sum。

注意：sum 是 nums[i] 和 sum + nums[i]中最大的值。这种做法保证了 sum 是一直是针对连续数组算和。

代码实现如下：

// ac地址：https://leetcode-cn.com/problems/maximum-subarray/
// 原文地址：https://xxoo521.com/2020-03-09-max-sub-sum/
/**
 * @param {number[]} nums
 * @return {number}
 */
var maxSubArray = function(nums) {
    let maxSum = (sum = nums[0]);
    for (let i = 1; i < nums.length; ++i) {
        sum = Math.max(nums[i], sum + nums[i]);
        maxSum = Math.max(maxSum, sum);
    }
    return maxSum;
};

空间复杂度为\(O(1)\)，时间复杂度为\(O(N)\)

解法 4: 分治法

分治法的做题思路是：先将问题分解为子问题；解决子问题后，再将子问题合并，解决主问题。

使用分治法解本题的思路是：

• 将数组分为 2 部分。例如 [1, 2, 3, 4] 被分为 [1, 2] 和 [3, 4]
• 通过递归计算，得到左右两部分的最大子序列和是 lsum，rsum
• 从数组中间开始向两边计算最大子序列和 cross
• 返回 max(lsum, cross, rsum)

整体过程可以参考来自 Leetcode 官方题解的图：

可以看到，分治法可行的关键的是：最大子序列和只可能出现在左子数组、右子数组或横跨左右子数组 这三种情况下。

代码实现如下：

// ac地址：https://leetcode-cn.com/problems/maximum-subarray/
// 原文地址：https://xxoo521.com/2020-03-09-max-sub-sum/

/**
 * @param {number[]} nums
 * @param {number} left
 * @param {number} right
 * @param {number} mid
 * @return {number}
 */
function crossSum(nums, left, right, mid) {
    if (left === right) {
        return nums[left];
    }

    let leftMaxSum = Number.MIN_SAFE_INTEGER;
    let leftSum = 0;
    for (let i = mid; i >= left; --i) {
        leftSum += nums[i];
        leftMaxSum = Math.max(leftMaxSum, leftSum);
    }

    let rightMaxSum = Number.MIN_SAFE_INTEGER;
    let rightSum = 0;
    for (let i = mid + 1; i <= right; ++i) {
        rightSum += nums[i];
        rightMaxSum = Math.max(rightMaxSum, rightSum);
    }

    return leftMaxSum + rightMaxSum;
}

/**
 * @param {number[]} nums
 * @param {number} left
 * @param {number} right
 * @return {number}
 */
function __maxSubArray(nums, left, right) {
    if (left === right) {
        return nums[left];
    }

    const mid = Math.floor((left + right) / 2);
    const lsum = __maxSubArray(nums, left, mid);
    const rsum = __maxSubArray(nums, mid + 1, right);
    const cross = crossSum(nums, left, right, mid);

    return Math.max(lsum, rsum, cross);
}

/**
 * @param {number[]} nums
 * @return {number}
 */
var maxSubArray = function(nums) {
    return __maxSubArray(nums, 0, nums.length - 1);
};

时间复杂度是\(O(NlogN)\)。由于递归调用，所以空间复杂度是\(O(logN)\)

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