CF1006E Military Problem 题解

CF1006E Military Problem 题解

题意

给定一颗有 $n(2\le n\le 2\times {10}^5)$ 个节点的树，树根为 $1$。

对于每个节点 $i(2\le i\le n)$ 都有它的父节点 $p_i$，并且每个节点的子节点都是按从小到大的顺序排列的的。

有 $q(1\le q\le 2\times {10}^5)$ 个询问，每次询问都有一个 $u_i,k_i(1\le u_i,k_i\le n)$，输出以 $u_i$ 为根的子树的前序遍历中排名为 $k_i$ 的元素。

如果子树中没有 $k_i$ 个节点则输出 $-1$。

暴力做法

对于每个询问 $i$ 的 $u_i$，直接在以 $u_i$ 为根的子树中做前序遍历，取第 $k_i$ 个被遍历到的元素作为答案即可。

由于每次遍历都有可能遍历整棵树，所以时间复杂度最坏为 $O(nq)$，会超时。

正解

继续在暴力做法上寻找优化方法。

如果我们画图会发现，一棵子树内前序遍历的编号是连续的。

所以我们就可以利用这一性质，在树的前序遍历上做询问。

先对整棵树跑一边前序遍历并将其记录下来。

在询问时，先找到 $u_i$ 在前序遍历中的下标 $o$，再找寻前序遍历中以下标 $o$ 开始的第 $k_i$ 元素的下标 $l$。

最终前序遍历中下标为 $l$ 的元素即为所求答案。

对于输出 $-1$ 的情况，只需要记录一下以 $i(1\le i\le n)$ 为根的子树大小 $siz{e}_i$。在询问时，判断是否 $siz{e}_{u_i}<k_i$ 即可。

由于预处理时间复杂度为 $O(n)$，每次询问时间复杂度为 $O(1)$，所以最终时间复杂度为 $O(n+q)$，可以通过测试。

代码

#include<stdio.h>
#include<vector>
const int N=2e5+5;
std::vector<int> v[N];
int n,m,num[N],cnt,kth[N],size[N];
void build(int u){//预处理
	num[++cnt]=u;//前序遍历编号对应元素
	kth[u]=cnt;//元素对应编号
	size[u]=1;//子树大小
	for(auto son:v[u]) build(son),size[u]+=size[son];
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=2,x;i<=n;i++) scanf("%d",&x),v[x].emplace_back(i);
	build(1);
	int x,y;
	while(m--){
		scanf("%d%d",&x,&y);
		if(size[x]<y) puts("-1");
		else printf("%d\n",num[kth[x]+y-1]);
	}
	return 0;
}