欧拉反演

欧拉反演

定理：

$$n=\sum _{d\mid n}\phi (d)$$

证明

显然对于一个 $i(1\le i\le n)$，$i$ 与 $n$ 的 $gcd$ 都是唯一的。

由此可得：

$$n=\sum _{d\mid n}\sum _{i=1}^n[gcd(i,n)=d]$$

此公式相当于枚举 $gcd$。由于 $i$ 与 $n$ 的 $gcd$ 唯一，所以统计时只会贡献一次。

将公式变形，得：

$$n=\sum _{d\mid n}\sum _{i=1}^n[d\mid i,gcd(\frac{i}{d},\frac{n}{d})=1]$$

发现内层循环就是求在 $\frac{n}{d}$ 范围内与 $\frac{n}{d}$ 互质的数的个数，即为 $\phi (\frac{n}{d})$。

再次将公式变形，得：

$$n=\sum _{d\mid n}\phi (\frac{n}{d})$$

由于 $d\mid n$，所以 $d$ 与 $\frac{n}{d}$ 的值一一对应。

所以进行最后的变形，得：

$$n=\sum _{d\mid n}\phi (d)$$

证毕。

应用

给定一个 $n(1\le n\le {10}^{12})$，求 $\sum _{i=1}^{n}gcd(i,n)$。

推导

设答案为 $ans$。

对 $gcd(i,n)$ 进行欧拉反演，得：

$$ans=\sum _{i=1}^n\sum _{d\mid gcd(i,n)}\phi (d)$$

观察到：若 $d\mid gcd(i,n)$，则符合条件的 $d$ 要满足的充要条件是 $d\mid i,d\mid n$。

根据上述性质，改写得：

$$ans=\sum _{i=1}^n\sum _{d\mid i,d\mid n}\phi (d)$$

将内层循环移至外层，得：

$$ans=\sum _{d\mid n}\sum _{i=1}^n\phi (d)[d\mid i]$$

将 $\phi (d)$ 移至外层循环，得:

$$ans=\sum _{d\mid n}\phi (d)\sum _{i=1}^n[d\mid i]$$

发现在 $n$ 以内，$d\mid i$ 的个数就是 $\lfloor \frac{n}{d}\rfloor$。

最终改写得：

$$ans=\sum _{d\mid n}\lfloor \frac{n}{d}\rfloor \phi (d)$$

时间复杂度

对 $n(1\le n\le {10}^{12})$ 进行质因数分解：

$$n=p_1^{r_1}{p}_2^{r_2}\cdots p_k^{r_k}$$

当 $n$ 的因数个数最多时，$r_1=r_2=\cdots =r_k=1$。

在 ${10}^{12}$ 范围内，满足条件的最大数是：

$$200560490130=2\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13\times 17\times 19\times 23\times 29\times 31$$

此时因数个数为 $2^{11}=2048$，不算很多，时间复杂度足以通过本题。