传纸条 动态规划（数字三角形模型）

275.传纸条

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。

一次素质拓展活动中，班上同学安排坐成一个 m 行 n 列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。

幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。

纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标 (1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标 (m,n)。

从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。

班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙，反之亦然。

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用 0 表示），可以用一个 0∼100 的自然数来表示，数越大表示越好心。

小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度之和最大。

现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

输入格式

第一行有 2 个用空格隔开的整数 m 和 n，表示学生矩阵有 m 行 n 列。

接下来的 m 行是一个 m×n 的矩阵，矩阵中第 i 行 j 列的整数表示坐在第 i 行 j 列的学生的好心程度，每行的 n 个整数之间用空格隔开。

输出格式

输出一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

数据范围

1≤n,m≤50

输入样例：

3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0

输出样例：

34

思路：

dp[k - 1, i, j] 到 dp[k, i, j] 两个人同时向右走
dp[k - 1, i, j - 1] 到 dp[k, i, j] 一个人向右走，一个向下走 dp[k, i, j]
dp[k - 1, i - 1, j] 到 dp[k, i, j] 一个人向下走，一个向右走 dp[k, i, j]
dp[k - 1, i - 1, j - 1] 到 dp[k, i, j] 两个人同时向下走 dp[k, i, j]

代码：

#include<iostream>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>

using namespace std;

const int N = 55;
int m, n;
int res, ans, sum;
int a[N][N], dp[N * 2][N][N];


int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = 1; j <= m; ++j)
            cin >> a[i][j];
    for (int k = 2; k <= n + m; ++k) {
        for (int i = max(1, k - m); i <= min(n, k - 1); ++i) {
            for (int j = max(1, k - m); j <= min(n, k - 1); ++j) {
                for (int b = 0; b <= 1; ++b) {
                    for (int c = 0; c <= 1; ++c) {
                        int t = a[i][k - i]; // 走过a[i][k - i]
                        // 两次不重复 || 第一步 || 最后一步
                        if (i != j || k == 2 || k == n + m) {
                            t += a[j][k - j]; // 走过a[j][k - j]
                            dp[k][i][j] = max(dp[k][i][j], dp[k - 1][i - b][j - c] + t);
                        }
                    }
                }
            }
        }
    }
    cout << dp[n + m][n][n] << endl;
    return 0;
}