巴塞尔问题的欧拉之解

前言

欧拉年少成名，这是巴塞尔问题欧拉的解法

问题描述

求$\large \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}$的值

大致证明

根据 $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}x=1$$ 以及 $\sin x$ 的根为 $k\pi,k\in \mathbb{Z}$得到

$$\begin{align} \frac{\sin x}x&=\Big(1-\frac{x}{\pi}\Big)\Big(1+\frac{x}{\pi}\Big)\Big(1-\frac{x}{2\pi}\Big)\Big(1+\frac{x}{2\pi}\Big)\cdots\\ &=\Big(1-\frac{x^2}{\pi^2}\Big)\Big(1-\frac{x^2}{4\pi^2}\Big)\Big(1-\frac{x^2}{9\pi^2}\Big)\cdots\tag1 \end{align}\\ $$

根据 $\sin x$的泰勒展开式

$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots\\ $$

两边同时除以 $x$ 得到

$$\frac{\sin x}x=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}+\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n+1)!}+\cdots\\\tag2$$

比较(1)式与(2)式中 $x^2$ 的系数得到

$$-\frac{1}{3!}=-\frac{1}{\pi^2}-\frac{1}{4\pi^2}-\frac{1}{9\pi^2}-\cdots\\ $$

即

$$\frac1{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}\\ $$

The End

此blog并没有将欧拉的严谨证明搬到此处