偏微分方程：计算基本理论

1. 偏微分方程

　　偏微分方程（Partial Differential Equation，简写为PDE）是未知量包含多个独立变量、方程包含偏微分运算的一类微分方程。

　　在物理模型中，最常见的情况是：需要求解的未知量含有时间变量(t)和空间变量（视维数变化）。最简单的偏微分方程包括二维稳定问题（只和空间变量x,y有关）和一维传导/波动问题（只和一维空间变量x和时间t有关）。

2. 二阶线性偏微分方程的一般讨论

　　一般地，任意的二维二阶线性偏微分方程都可以写成如下形式：

$$a\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+b\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + c\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+d\frac{\partial u}{\partial x} + e\frac{\partial u}{\partial y}+fu(x,y)+g(x,y)=0$$ 　　根据二阶项系数，该类型的偏微分方程可以分为以下形式：

　　$\Delta = b^2-4ac>0\quad \Rightarrow \quad$双曲型(hyperbolic)方程，一般描述能量守恒系统

　　$\Delta = b^2-4ac=0\quad \Rightarrow \quad$抛物型(parabolic)方程，一般描述耗散系统

　　$\Delta = b^2-4ac<0\quad \Rightarrow \quad$椭圆型(elliptic)方程，一般描述稳定状态和系统

　　常见的经典二阶线性偏微分方程：

　　1) 波动方程：$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\frac{1}{a^2}\nabla ^2 u=f(x,y,z,t)$，一维的波动方程 $\Delta = \frac{1}{a^2}>0$ 属双曲型方程；

　　2) 热传导方程：$\frac{\partial u}{\partial t}-k\nabla ^2 u = f(x,y,z,t)$，$\Delta = 0$ 属抛物型方程；

　　3) 泊松方程：$\nabla^2 u = f(x,y,z,t)$ 其齐次形式 $\nabla^2 u = 0$ 称为拉普拉斯方程。拉普拉斯方程是典型的椭圆型方程。

3. 初始条件和边界条件

　　正如常微分方程一样，单独的偏微分方程是不能定解的；需要构成定解问题，还需要初始条件和边界条件的加持：或者需要给出一定个数的初始条件，或者需要给出一定个数的边界条件，或者给出由初始条件和边界条件构成的混合条件。

边界条件

　　边界条件规定了未知量 $u$ 在偏微分方程边界上的取值/偏导数等信息。如果 $u$ 的偏微分方程的区域关于自变量$x$的边界是$x=x_1$和$x=x_2$（对于二维区域来说，说明该区域夹在两条平行线间；对于三维区域，则夹在两个平面间），那么下式： $$u(x,y)|_{x=x_1}=u_1(y),\quad u(x,y)|_{x=x_2}=u_2(y)$$ 　　就构成了一组边界条件。

　　一般地说，边界面的形状记作$\Sigma$，则比如：

　　1) 第一类边界条件——狄利克雷(Dirichlet)条件（给出未知量取值）：$u(x,y)|_{\Sigma}=\phi(x,y)$

　　2)  第二类边界条件——诺伊曼(Neumann)条件（给出未知量的偏导数值）：$\frac{\partial u(x,y)}{\partial n}=\psi(x,y)$

　　3)  第三类边界条件——斯托克斯(Stokes)条件（给出未知量取值和偏导数的线性叠加）：$\alpha u(x,y)|_{\Sigma} + \beta \frac{\partial u(x,y)}{\partial n} = \gamma(x,y)$

　　边界条件的类型非常丰富，只要是给出未知量在边界上行为的条件都是边界条件，一些常用但比较特别的比如：

　　a) 规定无穷远处未知量$u$为零：$\lim\limits_{r\rightarrow \infty} u(x,y) = 0,\quad r=\sqrt{x^2+y^2}$；

　　b) 或者正则条件，给出未知量在无穷远处的行为或渐近形式：$u(r)\sim \frac 1 r$

　　b) 规定某点处未知量$u$有界：$u(x_0, y_0)$有界

初始条件

　　初始条件规定了未知量 $u$ 在某个独立变量取特定值时的取值/偏导数值等信息。比如关于独立变量$x,y$的未知量$u(x,y)$： $$u(x,y)|_{x=x_0}=u_0(y), \frac{\partial u}{\partial x}|_{x=x_0}=f(y)$$ 　　就构成了初始条件。有时，初始条件给出的也是一个变量处在边界上的情形，实际上也可以理解为一种边界条件，但是初始条件是“单边条件”，即只给出一个变量在一个点的值，而不会给出在整个边界上的信息，因此二者很容易区分。

　　初始条件得名的原因是，给出初始条件往往是对于时间变量t，其物理意义为初始时刻系统的状态。