多项式函数插值：计算基本理论

1. 函数插值问题

　　已知函数在离散点处的取值：$(t_i, y_i)$ ，恢复连续函数 $f: \mathbb{R}\Rightarrow \mathbb{R}$ 使得该连续函数在以上离散点处取得已知取值 $f(t_i)=y_i$ ，从而可以求得该函数在离散点中间某一点的值，并获得导数等只有连续函数才具有的信息，或者便于进行数值积分、平滑滤波等操作，这样的过程即为函数插值。

　　通常来说，函数插值由一族基函数的叠加实现，或者说将已知离散点取值的函数转化为一族连续的基函数展开。即：

选取基函数 $\phi_1(t), \phi_2(t), ... \phi_n(t)$ ，求叠加系数 $x_i, i=1...m$ ，使得连续函数 $f(t)=\sum\limits_{i=1}^nx_i\phi_i(t)$ 满足 $f(t_j)=\sum\limits_{i=1}^nx_i\phi_i(t_j)=y_j, j=1...m$ 

　　因此，插值的过程也就是确定该族基函数的叠加系数的过程。常用的基函数包括：

单项式基，将离散取值表达为连续函数的多项式展开 $f(t)=\sum\limits_{k=0}^nx_kt^k$；

三角函数基，将离散取值表达为连续函数的傅里叶级数展开 $f(t)=\sum\limits_{k=0}^n(a_ksinkt+b_kcoskt)$（也可以看作是表达为纯虚数指数函数展开 $f(t)=\sum\limits_{k=-n}^nc_ke^{ikt}$ ）；

指数函数基，将离散取值表达为连续（实）指数函数叠加 $f(t)=\sum\limits_{k=0}^na_ke^{kt}$；

有理分式基，将离散取值表达为有理分式函数的叠加 

　　多项式函数插值专题将主要讨论多项式展开的形式，多项式叠加形式在计算方法上同样具有很多方法。

　　函数插值的应用非常广泛。对于离散的数据点，微分、积分都无法定义，信号的平滑、滤波、增强对比等操作也无从谈起。同时，对于实验中离散的数据，如何获得中间点取值的估计值；对于已有的区间内的数据，是否可以预测区间外部邻近点的取值。这些都涉及函数插值的操作，当离散的函数点变为一个在实数域上有定义的连续函数时，理论上自然就可以求任意一点的估计值了。同时，在选取函数基底和叠加系数时，有时也需要根据离散数据考虑，是否要求连续插值函数保留单调性/具有奇偶性等。

 

2. 问题的性质

解的存在唯一性：

　　一般来说，当基函数已经确定时，只需要求出叠加系数即可。这种情况下相当于解一个线性方程组：已知 $\sum\limits_{i=1}^n\phi_j(t_i)x_j=y_i, i=1,2,...m$ 求解 $\boldsymbol{x_i}$ 。因为选取的叠加函数为一组基函数，本身具有线性无关性，那么除非在特殊的情况下，矩阵 $(A_{ij})=\phi_j(t_i)$ 一般是非奇异的，那么这就保证了多数情况下系数矩阵是满秩的。注意到变量 $\boldsymbol{x}$ 本身是n维的（对应n个基函数），而方程组包含的方程有m个（对应，即为一个 $m\times n$ 维的系数矩阵，则有：$m>n \rightarrow$ 通常解不存在（超定）$\rightarrow$ 通常不存在符合要求的插值函数；$m<n \rightarrow$ 解一定不唯一，或者存在许多符合要求的插值函数；$m=n$ 时 $\rightarrow$ 通常存在唯一解，即存在唯一的插值函数。对于单项式基底，非奇异性是几乎必然的。

问题的条件：

　　正如上一段的讨论，在该种计算方法下，矩阵 $(A_{ij})=\phi_j(t_i)$ 从而成为求解叠加系数的线性方程组的系数矩阵，$A$ 的条件数 $cond(A)$ 即为问题的条件数。

 

3. 数值方法

基本的多项式函数插值方法大致可以分为两类：

3.1 全域多项式函数插值

　　包括单项式基底插值，拉格朗日插值方法（每个离散点取值独立决定一项系数），牛顿插值方法，正交多项式基——勒让德多项式基底插值方法、切比雪夫多项式基底插值方法。各种方法得到的多项式本质上为全同的多项式，但是各个数值方法的复杂度、条件数不同，操作效果也有差异。

3.2 分段多项式函数插值

　　包括厄米特插值（比如三次厄米特插值），样条插值（k-1阶连续可导的k阶多项式）——三次样条插值、B样条插值等。这些方法的复杂度不同，插值效果和全域多项式函数插值结果显然不同，且内部任意的参数变化也可能带来比较大的差异。