CF70C Lucky Tickets

题意描述：

洛谷

设 \(rev(i)\) 表示把 \(i\) 的每一位翻转之后所得到的数。

如果 $a\times b = rev(a) \times rev(b) $ , 则称数对 \((a,b)\) 是合法的。

\(f(n,m)\) 表示：\(i\leq n,j\leq m\), 且数对 \((i,j)\) 是合法的数对的个数。

现在给你三个数 \(x_{max},y_{max},w\)， 让你求一组 \((x,y)\) 满足：\(f(x,y)\geq w\) 且 \(x\leq x_{max},y\leq y_{max}\) ，\(x\times y\) 最小,无解则输出 \(-1\)。

数据范围： \(x_{max},y_{max}\leq 10^5, w\leq 10^7\) 。

solution：

\(\ map\) + 双指针。

首先我们考虑一个问题就是怎么求出 \(f(n,m)\) 。

我们把 \(a\times b = rev(a)\times rev(b)\) 变形为：\({a\over rev(a)} = {rev(b)\over b}\)。

然后可以先开个 \(map\) 存一下 \(a\over rev(a)\) 出现的次数， 然后在枚举一下 \(b\) ，那么 \(b\) 对 \(f(n,m)\) 的贡献就是 \(rev(b)\over b\) 的出现次数。

在能求出来 \(f(n,m)\) 之后，我们这道题就很好做了。

我们可以先扫一遍求出 \(f(x_{max},y_{max})\) ,无解的情况就是 \(f(x_{max},y_{max}) > w\)

至于有解的情况，我们维护两个指针 \(l,r\) 表示 当 \(x=l\) 时，符合条件的 \(y\) 最小为 \(r\) 。

同时维护一个 变量 \(cnt\)， 表示当前 \(f(l,r)\) 的值。

不难发现，随着 \(l\) 的递增， \(r\) 一定是单调递减的。

所以我们可以拿双指针维护一下，同时再开两个 \(map\) 用来统计 \(a\over rev(a)\) 和 \(rev(b)\over b\) 出现的次数。

当 \(l,r\) 指针移动的时候, 用 \(map\) 就可以直接维护出指针移动之后 \(cnt\) 的值 （类似于莫队的指针移动）。

复杂度： \(O(nlogn)\)

code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<map>
using namespace std;
int maxx,maxy,w,l,r,ans,ansl,ansr,cnt,sum;
map<double,int> t1,t2;
inline int read()
{
    int s = 0, w = 1; char ch = getchar();
    while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-') w = -1; ch = getchar();}
    while(ch >= '0' && ch <= '9'){s = s * 10 + ch - '0'; ch = getchar();}
    return s * w;
}
int rev(int x)
{
    int res = 0;
    while(x)
    {
        res = res * 10 + x % 10;
        x /= 10;
    }
    return res;
}
int main()
{
    maxx = read(); maxy = read(); w = read(); ans = 1e10;
    for(int i = 1; i <= maxx; i++) t1[1.0*i/rev(i)]++;
    for(int i = 1; i <= maxy; i++) sum += t1[1.0*rev(i)/i];//求f(maxx,maxy)
    if(sum < w) printf("%d\n",-1);//无解的情况
    else
    {
        l = maxx, r = 0;
        while(l && r <= maxy)
        {
            while(cnt < w && r <= maxy)
            {
            	r++;
                t2[1.0*rev(r)/r]++;
                cnt += t1[1.0*rev(r)/r];//r指针对cnt的贡献
            }
            if(cnt >= w && r*l < ans)
            {
                ans = r*l;
                ansl = l; ansr = r;
            }
            cnt -= t2[1.0*l/rev(l)];//l向左移对cnt的贡献
            t1[1.0*l/rev(l)]--;
            l--;
        } 
	printf("%d %d\n",ansl,ansr);
    }
   
    return 0;
}