P3302 [SDOI2013]森林

题意描述：

洛谷

给你一个 \(n\) 个点 \(m\) 条边的森林，有 \(T\) 次操作，每次操作分为两种类型：

• 操作1：询问 \(x-y\) 路径上节点权值第 \(k\) 小的是多少。
• 操作2：连接 \(x-y\) 这一条边，保证连完之后还是森林。

数据范围：强制在线， \(n,m,T\leq 8e4\)

solution

先不考虑操作二，只看操作一的话直接树上主席树即可。

对于操作二，首先暴力合并是不可能的，考虑启发式合并，记录一下每棵树的大小，每次合并把小的合并到大的树当中，合并的时候 \(DFS\) 一下节点数量较少的树，在 \(DFS\) 的过程中维护一下倍增数组和主席树即可。

维护倍增数组的话一个比较好的实现方法就是边 \(DFS\) 边修改（个人认为这样还好些点）。

时间复杂度 \(O(nlog^2n)\) ，空间复杂度 \(O(nlogn)\)

然后这道题就完了 QAQ。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 2e5+10;
int n,m,u,v,id,t,k,x,y,cnt,tot,last,num;
int head[N],fa[N][25],rt[N*15],siz[N],dep[N],b[N],w[N];
struct node
{
	int to,net;
}e[N<<1];
struct Tree
{
	int lc,rc,sum;
}tr[40000010];
inline int read()
{
	int s = 0,w = 1; char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-') w = -1; ch = getchar();}
	while(ch >= '0' && ch <= '9'){s = s * 10 + ch - '0'; ch = getchar();}
	return s * w;
}
void add(int x,int y)
{
	e[++cnt].to = y;
	e[cnt].net = head[x];
	head[x] = cnt;
}
void up(int o)
{
	tr[o].sum = tr[tr[o].lc].sum + tr[tr[o].rc].sum;
}
void insert(int &o,int last,int l,int r,int x,int val)
{
	o = ++tot;
	if(l == r)
	{
		tr[o].sum = tr[last].sum + val;
		return;
	}
	tr[o].lc = tr[last].lc;
	tr[o].rc = tr[last].rc;
	int mid = (l + r)>>1;
	if(x <= mid) insert(tr[o].lc,tr[last].lc,l,mid,x,val);
	if(x > mid) insert(tr[o].rc,tr[last].rc,mid+1,r,x,val);
	up(o);
}
void dfs(int x,int f)//dfs维护倍增数组和主席树
{
	dep[x] = dep[f] + 1; fa[x][0] = f; siz[x] = 1;
	for(int i = 1; i <= 20; i++) fa[x][i] = fa[fa[x][i-1]][i-1];
	insert(rt[x],rt[f],1,num,w[x],1);
	for(int i = head[x]; i; i = e[i].net)
	{
		int to = e[i].to;
		if(to == f) continue;
		dfs(to,x);
		siz[x] += siz[to];
	}
}
int lca(int x,int y)
{
	if(dep[x] <= dep[y]) swap(x,y);
	for(int i = 20; i >= 0; i--)
	{
		if(dep[fa[x][i]] >= dep[y]) 
		{
			x = fa[x][i];
		}
	}
	if(x == y) return x;
	for(int i = 20; i >= 0; i--)
	{
		if(fa[x][i] != fa[y][i])
		{
			x = fa[x][i];
			y = fa[y][i];
		}
	}
	return fa[x][0];
}
int query(int x,int y,int z,int u,int l,int r,int k)
{
	if(l == r) return l;
	int num = tr[tr[x].lc].sum + tr[tr[y].lc].sum - tr[tr[z].lc].sum - tr[tr[u].lc].sum;
	int mid = (l + r)>>1;
	if(k <= num) return query(tr[x].lc,tr[y].lc,tr[z].lc,tr[u].lc,l,mid,k);
	else return query(tr[x].rc,tr[y].rc,tr[z].rc,tr[u].rc,mid+1,r,k-num);
}
int main()
{
	id = read(); n = read(); m = read(); t = read();
	for(int i = 1; i <= n; i++) b[i] = w[i] = read();
	sort(b+1,b+n+1);
	num = unique(b+1,b+n+1)-b-1;
	for(int i = 1; i <= n; i++) w[i] = lower_bound(b+1,b+num+1,w[i])-b;
	for(int i = 1; i <= m; i++)
	{
		u = read(); v = read();
		add(u,v); add(v,u);
	}
	for(int i = 1; i <= n; i++) if(!dep[i]) dfs(i,0);
	for(int i = 1; i <= t; i++)
	{
		char opt; cin>>opt;
		if(opt == 'Q')
		{
			x = read() ^ last;
			y = read() ^ last;
			k = read() ^ last;
			int Lca = lca(x,y);
			last = b[query(rt[x],rt[y],rt[Lca],rt[fa[Lca][0]],1,num,k)];
			printf("%d\n",last);
		}
		else
		{
			x = read() ^ last;
			y = read() ^ last;
			if(siz[x] < siz[y]) swap(x,y);
			add(x,y); add(y,x);
			siz[x] += siz[y];
			dfs(y,x);
		}
	}
	return 0;
}