拓展BSGS 学习笔记

承接上文

BSGS 算法要求 \(a\) 和 \(p\) 互质，但如果 \(a\) 和 \(p\) 不互质怎么办呢？

这时候我们就引入了 \(EXBSGS\) 算法。

还是求 \(a^x \equiv b \pmod p\) , 但 \(p\) 不一定是质数。

如果 \(a\) 和 \(p\) 互质的话，那么套用一下 \(BSGS\) 的模板就可以解决了。

现在我们的就需要把 \(p\) 变成和 \(a\) 互质。

设 \(g = gcd(a,p)\) ,则有：

\({a\over g} a^{x-1} \equiv {b\over g} (\bmod {p\over g} )\)

如果 \(b \%\) \(g\neq 0\) 的话，此方程无解。

但如果 \(a\) 和 \(p\over g\) 互质的话，我们可以用 \(BSGS\) 算法求出一个解来。

反之继续递归下去，直到 \(a\) 和 \(p\) 互质即可。

同时在递归的时候，统计一下迭代的次数 \(k\)，那么最后方程的解即为 \(k + t\) ( \(t\) 为 \(BSGS\) 求出来的解)。

要注意的一点是当 \({a \over g} = b\) 的时候，这时候我们不用继续向下递归下去，此时 \(x = k\) 就是原方程的一组解。

模板题 P1495

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<cmath>
using namespace std;
#define int long long
int a,b,p;
int gcd(int a,int b)
{
	if(b == 0) return a;
	else return gcd(b,a%b);
}
inline int read()
{
	int s = 0,w = 1; char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-') w = -1; ch = getchar();}
	while(ch >= '0' && ch <= '9'){s = s * 10 + ch - '0'; ch = getchar();}
	return s * w;
}
int ksm(int a,int b)
{
	int res = 1;
	for(; b; b >>= 1)
	{
		if(b & 1) res = res * a % p;
		a = a * a % p;
	}
	return res;
}
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	if(b == 0)
	{
		x = 1;
		y = 0;
		return;
	}
	exgcd(b,a%b,y,x);
	y -= a / b * x;
}
int inv(int a,int p)//求a在模p下的逆元
{
	int x,y;
	exgcd(a,p,x,y);
	return (x % p + p) % p;
}
int BSGS(int k,int a,int b,int p)//ka^x = b (mod p)
{
	b = b * inv(k,p) % p;
	map<int,int> hash;
	int m = (int) sqrt(p) + 1;
	for(int i = 1; i <= m; i++)
	{
		b = b * a % p;//要一个一个的乘，否则会炸 long long
		hash[b] = i;
	}
	a = ksm(a,m), b = 1;
	for(int i = 1; i <= m; i++)
	{
		b = b * a % p;
		int j = hash.find(b) == hash.end() ? -1 : hash[b];
		if(j >= 0 && i * m - j >= 0) return i * m - j;
	}
	return -1;
}
int Exbsgs(int a,int b,int p)
{
	int k = 1, num = 0;
	while(gcd(a,p) != 1)//直到 a 和 p 互质可以用bsgs求出一组解来
	{
		int g = gcd(a,p);
		if(b % g != 0) return -1;//无解的情况
		k = k * (a/g) % p; num++;//统计迭代的次数
		if(k == b) return num;//系数 k = d的时候 k就是原方程的一个解
		p /= g; b /= g;
	}
	int tmp = BSGS(k,a,b,p);
	return tmp == -1 ? -1 : tmp + num;
}
signed main()
{
	while(1)
	{
		a = read(); p = read(); b = read();
		if(a == 0 && b == 0 && p == 0) break;
		int ans = Exbsgs(a,b,p);
		if(ans == -1) printf("No Solution\n");
		else printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}