P2458 保安站岗/P2899 Cell Phone Network

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desprition

五一来临，某地下超市为了便于疏通和指挥密集的人员和车辆，以免造成超市内的混乱和拥挤，准备临时从外单位调用部分保安来维持交通秩序。

已知整个地下超市的所有通道呈一棵树的形状；某些通道之间可以互相望见。总经理要求所有通道的每个端点（树的顶点）都要有人全天候看守，在不同的通道端点安排保安所需的费用不同。

一个保安一旦站在某个通道的其中一个端点，那么他除了能看守住他所站的那个端点，也能看到这个通道的另一个端点，所以一个保安可能同时能看守住多个端点（树的结点），因此没有必要在每个通道的端点都安排保安。

编程任务：

请你帮助超市经理策划安排，在能看守全部通道端点的前提下，使得花费的经费最少。

solution

一开始自己拿战略游戏那道题的思路写了这道题，然后就获得了 \(10pts\) 的好成绩。

仔细想想这两道题之间还是有区别的：

• 战略游戏是每条边的左右端点至少选一个。
• 但这道题不太一样，这两个点可以都不选，比如左端点被他的父亲覆盖，然后右端点被他儿子覆盖。

这样我们的状态设计就出现了问题。

考虑到一个点只会被他自己，他儿子或者他父亲覆盖。

然后就设 \(f[i][0/1/2]\) 分别表示 在这个点放/在这个点的儿子处放/在这个点的父亲处放的最小花费。

初始化： \(f[i][0] = a[i], f[i][1] = f[i][2] = 0\)

特别的当 \(i\) 为叶子节点时， \(f[i][1] = inf\) ，因为他下面没有儿子可以覆盖。

转移

1. \(f[i][0] += min(f[to][0],f[to][1],f[to][2])\)

​ 加入在 \(i\) 这个点放的话，那么他的儿子可以任意放。

1. \(f[i][2] += min(f[to][0],f[to][1])\)

​ 这个时候因为 \(i\) 这个节点没有放，所以就不能由 \(f[to][1]\) 转移过来。

1. \(f[i][1] += min(f[to][0],f[to][1])\) 至少选一个 \(f[to][0]\)

​ 这个时候只需要满足至少有一个儿子节点放就行，其他儿子随便放。

​ 这个直接转移是 \(O(n^2)\) 的，考虑优化。

​ 记录一个差值 \(tmp = min(tmp,max(0,f[to][0]-f[to][1]))\)

​ 如果 \(tmp == 0\) 说明我们至少选了 一个 \(f[to][1]\) ,而 \(tmp\) 不为零的时候直接把差值最小的那个即 \(tmp\) 加上去就行。

最后答案 \(min(f[1][0],f[1][1])\) 因为 \(1\) 没有父亲节点，所以自然也不存在被父亲覆盖这种情况。

又水了两道蓝题呢，(◕ᴗ◕✿)。

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e5+10;
const int inf = 2333333;
int n,x,son,tot;
int head[N],siz[N],a[N],f[N][3];
struct node
{
	int to,net;
}e[N<<1];
inline int read()
{
	int s = 0,w = 1; char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-') w = -1; ch = getchar();}
	while(ch >= '0' && ch <= '9'){s = s * 10 + ch - '0'; ch = getchar();}
	return s * w;
}
void add(int x,int y)
{
	e[++tot].to = y;
	e[tot].net = head[x];
	head[x] = tot;
}
void dfs(int x,int fa)
{
	f[x][0] = a[x];
	f[x][1] = f[x][2] = 0;
	int tmp = inf;
	for(int i = head[x]; i; i = e[i].net)
	{
		int to = e[i].to;
		if(to == fa) continue;
		dfs(to,x);
		f[x][0] += min(f[to][0],min(f[to][1],f[to][2]));
		f[x][1] += min(f[to][0],f[to][1]);
		f[x][2] += min(f[to][0],f[to][1]);
		tmp = min(tmp,max(0,f[to][0]-f[to][1]));
	}
	if(siz[x] == 0) f[x][1] = inf;
	else f[x][1] += tmp;
}
int main()
{
	n = read();
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
		x = read(); a[x] = read(); siz[x] = read();
		for(int i = 1; i <= siz[x]; i++)
		{
			son = read();
			add(x,son); add(son,x);
		}
	}
	dfs(1,1);
	printf("%d\n",min(f[1][0],f[1][1]));
	return 0;
}