P2763 试题库问题
第一道自己做出来网络流24题。那个飞行员配对方案不算，自己还没调出来呢嘤嘤嘤
题目描述
问题描述：
假设一个试题库中有 \(n\) 道试题。每道试题都标明了所属类别。同一道题可能有多个类别属性。现要从题库中抽取 \(m\) 道题组成试卷。并要求试卷包含指定类型的试题。试设计一个满足要求的组卷算法。
编程任务：
对于给定的组卷要求，计算满足要求的组卷方案。
输入格式
第一行有两个正整数 \(k\) 和 \(n\) 。\(k\) 表示题库中试题类型总数，\(n\) 表示题库中试题总数。
第二行有 \(k\) 个正整数，第 \(i\) 个正整数表示要选出的类型 \(i\) 的题数。这 \(k\) 个数相加就是要选出的总题数 \(m\)。
接下来的 \(n\) 行给出了题库中每个试题的类型信息。每行的第一个正整数 \(p\) 表明该题可以属于 \(p\) 类，接着的 \(p\) 个数是该题所属的类型号。
输出格式
输出共 \(k\) 行，第 \(i\) 行输出 i: 后接类型 \(i\) 的题号。
如果有多个满足要求的方案，只要输出一个方案。
如果问题无解，则输出No Solution!。
输入输出样例
输入 #1
3 15
3 3 4
2 1 2
1 3
1 3
1 3
1 3
3 1 2 3
2 2 3
2 1 3
1 2
1 2
2 1 2
2 1 3
2 1 2
1 1
3 1 2 3
输出 #1
1: 1 6 8
2: 7 9 10
3: 2 3 4 5
说明/提示
\(2\leq k \leq 20\)，\(k \leq n \leq 10^3\)。
题解
既然是网络流24题，那么就主要讲讲建模吧。
这道题其实求的是最大流，怎么说呢？
每道题只能选一次，所以我们从源点向他连一条容量为 \(1\) 的边。
我们每种类型，选的是有限制的，那我们可以从每种类型向汇点连一条容量为 \(w[i]\) （\(w[i]\)，表示这种类型的题要选几道）的边
然后向每道题向他所属的类型连一条容量为 \(1\) 的边，表示我们这种类型可以选这道题一次。
求出的最大流就是我们最多可以组的题目的数量。
无解的情况就是 \(最大流 < 要选的题的总数的时候\)
输出方案的话，就在残留网络中找边权为 \(0\) 的边，边的起点和终点就是我们的一组配对。
开个 \(vector\) 存一下就可以。
Code
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
const int inf = 2147483647;
const int N = 1010;
int k,n,ans,sum,s,t,x,num,tot = 1;
int head[N],dep[N],w[N];
vector<int> v[N];
struct node
{
int to,net,w;
}e[100010];
inline int read()
{
int s = 0,w = 1; char ch = getchar();
while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-') w = -1; ch = getchar();}
while(ch >= '0' && ch <= '9'){s = s * 10 + ch - '0'; ch = getchar();}
return s * w;
}
void add(int x,int y,int z)
{
e[++tot].w = z;
e[tot].to = y;
e[tot].net = head[x];
head[x] = tot;
}
bool bfs()
{
queue<int> q;
memset(dep,0,sizeof(dep));
q.push(s); dep[s] = 1;
while(!q.empty())
{
int x = q.front(); q.pop();
for(int i = head[x]; i; i = e[i].net)
{
int to = e[i].to;
if(e[i].w && !dep[to])
{
q.push(to);
dep[to] = dep[x] + 1;
if(to == t) return 1;
}
}
}
return 0;
}
int dinic(int x,int flow)//dinic模板
{
if(x == t) return flow;
int rest = flow;
for(int i = head[x]; i && rest; i = e[i].net)
{
int to = e[i].to;
if(e[i].w && dep[to] == dep[x] + 1)
{
int k = dinic(to,min(rest,e[i].w));
if(!k) dep[to] = 0;
e[i].w -= k;
e[i^1].w += k;
rest -= k;
}
}
return flow - rest;
}
void debug()
{
printf("-------->\n");
for(int i = 0; i <= n+k; i++)
{
for(int j = head[i]; j; j = e[j].net)
{
int to = e[j].to;
printf("%d %d %d\n",i,to,e[j].w);
}
}
}
int main()
{
k = read(); n = read();
s = 0, t = k+n+1;
for(int i = 1; i <= k; i++)
{
w[i] = read(); sum += w[i];
add(n+i,t,w[i]); add(t,n+i,0);//由每种类型向汇点连一条容量为 w[i] 的边
}
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
num = read();
for(int j = 1; j <= num; j++)
{
x = read();
add(i,n+x,1); add(n+x,i,0);//把每道题以及他所属的类型连边
}
}
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
add(s,i,1); add(i,s,0);//再有源点向每道题连一条边
}
// debug();
int flow = 0;
while(bfs())
{
while(flow = dinic(s,inf)) ans += flow;
}
if(ans < sum)//无解的情况
{
printf("No Solution!\n");
return 0;
}
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
for(int j = head[i]; j; j = e[j].net)
{
int to = e[j].to;
if(e[j].w == 0) v[to].push_back(i);
}
}
for(int i = n+1; i <= n+k; i++)
{
printf("%d: ",i-n);
for(int j = 0; j < min(w[i-n],(int)v[i].size()); j++)
{
printf("%d ",v[i][j]);
}
printf("\n");
}
return 0;
}
