整除分块
引理
给定正整数 \(i\) 和 \(n\) 满足 \(i<=n\)，使得 $n\over i $ = \(n \over x\) 成立的最大的 \(x\) 为 \(n \over {n \over i}\).（除法为下取整）
证明
- 1.肯定存在 x 使 \(n \over i\) = \(n \over x\)
因为 这里的除法是向下取整，会有精度损失。
- 2. \(x\) 的上界为 \(n\over {n \over i}\)
首先由除法的性质可得:
\({n \over x} \times x \leq n\)
然后又因为 \(n \over i\) = \(n \over x\), 可得:
\({n\over i} \times x \leq n\)
移项可得:
\(x \leq {n \over {n \over i}}\)
-3. x 的下界为 \({n \over {n \over i}} -1\)
首先因为 \(x\) 是最大的满足条件的数，所以:
\({n\over x} < {n \over {x+1}}\)
于是 :
\({n \over i} < {n \over {x+1}}\)
移项的得 :
\((x+1) \times {n \over{i}} < n\)
也就是:
\((x+1) < {n \over {n\over i}}\)
左边剩下一个 \(x\) 可得
\(x < {n \over {n \over i}} - 1\)
综上 \({n\over {n\over i}}-1 < x \leq {n \over {n\over i}}\)
所以 \(x\) 只能等于 \(n \over {n \over i}\)
