第一类斯特林数，第二类斯特林数，组合数
第一类斯特林数
定义
我们把 \(n\) 个数放入 \(m\) 个圆排列的方案数。
递推公式：
\(S_{i}^{j}\) = \(S_{i-1}^{j-1}\) + \((i-1)\times S_{i-1}^{j}\)
证明：
我们考虑第 \(i\) 个数他是怎么放的。他有两种情况。
第一种: 就是他自己新开一个桌子 那么前面的 \(i-1\) 个人就要用 \(j-1\) 个桌子 也就是 \(S_{i-1}^{j-1}\)
第二种：他就要和别人放在一个桌子，也就是剩下的 \(i-1\) 人要用 \(j\) 个桌子，他可以放在 \(i-1\) 个人的左边（或右边） 这个的方案数就是 \((i-1)\times S_{i-1}^{j}\)
第二类斯特林数
定义
把 \(n\) 个不同的元素划分到 \(m\) 个不同的集合的方案数
递推公式
\(S2_{i}^{j} = S2_{i-1}^{j-1} + i \times S2_{i-1}^{j}\)
证明：
我们还是像上边那样，考虑第 \(i\) 个数他是怎么放的。
第一种： 他自己新开一个集合 也就是 前面的 \(i-1\) 个人要用 \(j-1\) 个集合 也就是 \(S2_{i-1}^{j-1}\)
第二种： 他和别人放在一个集合，这也就是和上面的不同的地方 ，这次我们要根据集合来考虑，而不是根据前面的人考虑。因为那样会重复计算。他可以与前 \(j\) 个集合放在一起
这个的方案数就是 \(i \times S2_{i-1}^{j}\)
组合数
这是最常见也是高中会学到的知识
定义：
从 \(n\) 个数中选 \(m\) 个数的方案数
计算式：
\(C_{n}^{m}\) = \(n! \over {m! \times (n-m)!}\)
递推式：
\(C_{n}^{m} = C{n-1}^{m-1} + C_{n-1}^{m}\)
证明：
计算式就不用证了吧，高中课本上都有。
我们就证一下递推式吧 （学过的同学一眼就能看出来这是杨辉三角）
考虑第 \(n\) 个数他是选还是不选 选的话就是从 \(n-1\) 个数中 选出 \(m-1\) 个数，不选的话就要从中选出 \(m\) 个数。
这就得到了，我们上面的那个递推式。
范德蒙德卷积
我谔谔，不想说啥。
公式： \(\displaystyle \sum_{i=0}^{k} C_{n}^{i} \times C_{m}^{k-i}\) = \(C_{n+m}^{k}\)
证明： 这个柿子可以看成从 \(n\) 个数中选 \(i\) 个数，再从 \(m\) 个数中选 \(k-i\) 个数，乘起来就相当于从 \(n+m\) 个数中选 \(k\) 个数
这个柿子，我在考试中没有推出来，丢人
二项式定理
\((a+b)^n = \displaystyle\sum_{i=0}^{n} C_{n}^{k} \times a^k \times b ^{n-k}\)
这个不用证了吧，高中都学过。
性质
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\(C_{n}^{m} = C_{n}^{n-m}\)
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\(C_{n+r+1}^{r} = C_{n+r}^{r} + C_{n+r-1}^{r} + ..... + C_{n}^{0}\)
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\(C_{n}^{l} \times C_{l}^{r} = C_{n}^{r} \times C_{n-r}^{l-r}\)
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\(C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + ..... C_{n}^{n} = 2^n\)
证明
从 \(n+r+1\) 个数中选出 \(r\) 个数 等同于 你从剩下的数中一次选一个数的方案数，分步加法计算原理 。 故性质2 成立。
性质三等式左边可以看做先从 \(n\) 个数里面选 \(l\) 个数再从这 \(l\) 个数里面选 \(r\) 个数，等同于等式右边的 先从这 \(n\) 个数里面选 \(r\) 个数，在从剩下的数里面选 \(l-r\) 个数。
选的顺序对结果是没有影响的。
