P2480 [SDOI2010]古代猪文
题目描述
猪王国的文明源远流长，博大精深。
iPig 在大肥猪学校图书馆中查阅资料，得知远古时期猪文文字总个数为 \(n\) 。当然，一种语言如果字数很多，字典也相应会很大。
当时的猪王国国王考虑到如果修一本字典，规模有可能远远超过康熙字典，花费的猪力、物力将难以估量。故考虑再三没有进行这一项劳猪伤财之举
。当然，猪王国的文字后来随着历史变迁逐渐进行了简化，去掉了一些不常用的字。
iPig 打算研究古时某个朝代的猪文文字。根据相关文献记载，那个朝代流传的猪文文字恰好为远古时期的 \(1\over k\)，
其中 \(k\) 是 \(n\) 的一个正约数（可以是 \(1\) 或 \(n\)）。不过具体是哪 \(1\over k\)，以及 \(k\) 是多少，由于历史过于久远，已经无从考证了。
iPig 觉得只要符合文献，每一种 \(k∣n\) 都是有可能的。他打算考虑到所有可能的 \(k\)。显然当 \(k\) 等于某个定值时，
该朝的猪文文字个数为 \(n \over k\)。然而从 \(n\) 个文字中保留下 \(n\over k\) 个的情况也是相当多的。iPig 预计，
如果所有可能的 \(k\) 的所有情况数加起来为 \(p\) 的话，那么他研究古代文字的代价将会是 \(g^p\)。
现在他想知道猪王国研究古代文字的代价是多少。由于 iPig 觉得这个数字可能是天文数字，
所以你只需要告诉他答案除以 \(999911659\) 的余数就可以了。
输入格式
一行两个正整数 n,g。
输出格式
输出一行一个整数表示答案。
输入输出样例
输入 #1
4 2
输出 #1
2048
数据范围与提示
对于 \(10\%\) 的数据 \(1\le n \le 50\)；
对于 \(20\%\) 的数据，\(1\le n \le 1000\)；
对于 \(40\%\) 的数据，\(1\le n \le 10^5\)；
对于 \(100\%\) 的数据，\(1\le n,g \le 10^9\)。
前置芝士
-
中国剩余定理（求答案）
-
欧拉定理拓展
-
Lucas定理（求组合数）
一句话题意 \(g^{\sum_{d|n} C_{n}^{d} \bmod 999911659}\)
首先，根据欧拉定理的拓展可得
\(g^{\sum_{d|n} C_{n}^{d}} \bmod 999911659\) = \(g^{\sum_{d|n}C_{n}^{d} \bmod 999911658}\)
这个题关键就在于求出\(\sum_{d|n}C_{n}^{d} \bmod 999911658\)这个柿子
看到n的范围那么大，只有卢卡斯定理可以解决这种问题。
但模数又不是质数，那怎么办呢？
我们可以考虑对 \(999911658\) 进行因数分解 \(999911658 = 2 \times 3 \times 4679 \times 35617\)
发现他的因数都是质数，且指数都为1.
那这么不就可以用Lucas定理求出组合数了吗？
最后，我们考虑怎么统计答案
假设，我们计算出\(\sum_{d|n}C_{n}{d}\) mod 2,3,4679,35617 的结果分别为s1,s2,s3,s4
那么我们可以得到这样一组线性方程
这样，我们就可以利用中国剩余定理求解出最小的解，然后快速幂算出答案就解决了。
除此之外，还要特判一下 g = 999911659 的情况
为毛关于猪的都这么毒瘤（猪国杀，魔法猪学院，古代猪文）
代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define LL long long
#define int long long
int mod = 999911658;
int g,n,ans,jz[36000],sum[5];
int p[5] = {0,2,3,4679,35617};
LL ksm(LL a,LL b,LL p)
{
LL res = 1;
for(; b; b >>= 1)
{
if(b & 1) res = res * a % p;
a = a * a % p;
}
return res;
}
LL C(int n,int m,int p)//计算组合数
{
if(n < m) return 0;
return jz[n] % p * ksm(jz[m],p-2,p) % p * ksm(jz[n-m],p-2,p) % p;
}
LL Lucas(int n,int m,int p)//Lucas定理求组合数
{
if(m == 0) return 1;
return C(n%p,m%p,p) * Lucas(n/p,m/p,p) % p;
}
signed main()
{
scanf("%d%d",&n,&g); jz[0] = 1;
if(g == 999911659)//特判一下
{
cout<<0<<endl;
return 0;
}
for(int i = 1; i <= 36000; i++) jz[i] = jz[i-1] * i % mod;//预处理出阶乘
for(int i = 1; i * i <= n; i++)//枚举因子
{
for(int j = 1; j <= 4; j++)
{
if(i * i == n)
{
sum[j] = (sum[j] + Lucas(n,i,p[j])) % p[j];//计算出s1，s2，s3，s4
}
else if(n % i == 0)
{
sum[j] = (sum[j] + Lucas(n,i,p[j])) % p[j];
sum[j] = (sum[j] + Lucas(n,n/i,p[j])) % p[j];
}
}
}
for(int i = 1; i <= 4; i++)
{
ans = (ans + sum[i] * (mod/p[i]) % mod * ksm(mod/p[i],p[i]-2,p[i]) % mod) % mod;//中国剩余定理求解线性同余方程
}
ans = (ans % mod + mod) % mod; mod++;
printf("%lld\n",ksm(g,ans,mod));
}
