P4345 [SHOI2015]超能粒子炮改
题目描述
洛谷
曾经发明了脑洞治疗仪与超能粒子炮的发明家 SHTSC 又公开了他的新发明：超能粒子炮・改——一种可以发射威力更加强大的粒子流的神秘装置。
超能粒子炮・改相比超能粒子炮，在威力上有了本质的提升。它有两个参数 n,k ，它会向每个编号为 0 到 k （包含两端）的位置i发射威力为 \(C_{n}^{i} \bmod 2333\)的粒子流。
现在 SHTSC 给出了他的超能粒子炮・改的参数，让你求出其发射的粒子流的威力之和除以 2333所得的余数。
数据范围： 对于 100% 的数据，\(t=100000\) ， \(n,k \le 10^{18}\).
solution
首先，这道题可以用卢卡斯加大力吸氧得到50分。
然后，无论怎么调都会TLE。
那么我们就要开始想正解。
我们要求的是这个柿子
\(\displaystyle\sum_{i=0}^{k}C_{n}^{i} \bmod 2333\)
我们可以用Lucas定理换一下变成
\(\displaystyle\sum_{i=0}^{k}C_{n/p}^{i/p}C_{n\bmod p}^{i\bmod p}\bmod p\)
然后，我们就会神奇的发现，\(C_{n \bmod p}^{i \bmod p}\)重复计算了好多次
我们发现从0-p-1到p-2p-1.....他们中间都有一段连续的\(\displaystyle\sum_{i=0}^{p-1}C_{n \bmod p}^{i}\)
这样，我们就可以先计算这些段出现了多少次
就是 \(\displaystyle\sum_{i=0}^{p-1}C_{n \bmod p}^{i} \times \displaystyle\sum_{i=0}^{k/p-1} C_{n/p}^{i}\)
对于剩下的一些散块，我们直接可以套用卢卡斯定理来求。
也就是 \(\displaystyle\sum_{i=0}^{k \bmod p}C_{n \bmod p}^{i}\times C_{n/p}^{k/p}\)
对于这个\(\displaystyle\sum_{i=0}^{p-1}C_{n \bmod p}^{i}\)柿子，我们可以通过预处理出[0,p-1]的组合数的前缀和搞出来。
\(\displaystyle\sum_{i=0}^{k/p-1} C_{n/p}^{i}\)这个柿子呢，我们就可以直接递归处理。
总柿子
\(\displaystyle\sum_{i=0}^{k}C_{n}^{i} \bmod 2333\)
=\(\displaystyle\sum_{i=0}^{k}C_{n/p}^{i/p}C_{n\bmod p}^{i\bmod p}\bmod p\)
=\(\displaystyle\sum_{i=0}^{p-1}C_{n \bmod p}^{i} \times \displaystyle\sum_{i=0}^{k/p-1} C_{n/p}^{i}\)+ \(\displaystyle\sum_{i=0}^{k \bmod p}C_{n \bmod p}^{i}\times C_{n/p}^{k/p}\)
=\(f（n \bmod p，p-1） \times f(n \bmod p,k/p-1) + C_{n/p}^{k/p} \times f(n \bmod p,k \bmod p)\)
其中 \(f（x,y）\) = \(\displaystyle\sum_{i = 0}^{y}C_{x}^{i}\)
代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define LL long long
const int p = 2333;
LL t,a,b,c[2550][2550],f[2550][2550];
inline LL read()
{
LL s = 0, w = 1; char ch = getchar();
while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-') w = -1; ch = getchar();}
while(ch >= '0' && ch <= '9'){s = s * 10+ch -'0'; ch = getchar();}
return s * w;
}
LL Lucas(LL n, LL m)//Lucas定理求组合数
{
if(m == 0) return 1;
if(n < m) return 0;
return c[n%p][m%p] * Lucas(n/p,m/p) % p;
}
LL calc(LL n,LL k)
{
if(k < 0) return 0;
if(n == 0 || k == 0) return 1;
if(n < p && k < p) return f[n][k];
return (f[n%p][p-1] * calc(n/p,k/p-1) % p + Lucas(n/p,k/p) * f[n%p][k%p] % p) % p;//递归处理
}
void YYCH()//预处理出0-p的组合数
{
c[0][0] = f[0][0] = 1;
for(int i = 1; i <= 2500; i++)//杨辉三角求组合数
{
c[i][0] = c[i][i] = 1;
for(int j = 0; j <= i; j++)
{
c[i][j] = (c[i-1][j-1] + c[i-1][j]) % p;
}
}
for(int i = 0; i <= 2500; i++) f[i][0] = 1;
for(int i = 0; i <= 2500; i++)//组合数的前缀和
{
for(int j = 1; j <= 2500; j++)
{
f[i][j] = (f[i][j-1] + c[i][j]) % p;
}
}
}
int main()
{
t = read(); YYCH();
while(t--)
{
a = read(); b = read();
printf("%lld\n",calc(a,b));
}
return 0;
}
