BSGS算法解析
前置芝士：
1.快速幂（用于求一个数的幂次方）
2.STL里的map（快速查找）
详解
BSGS 算法适用于解决高次同余方程 \(a^x\equiv b (mod p)\)
由费马小定理可得 x <= p-1
我们设 \(m = sqrt(p)\) 至于为什么写，下文会讲到。
那么\(x\)就可以用 \(m\) 表示出来。
即 x = \(k \times m - j\)
移项可得 \(a^t \equiv b\times a^j\) 其中 t = \(k \times m\)
这也就是我们为什么把\(x\)用 \(k \times m - j\)来表示。
因为改为加\(j\)后，移项后要求逆元，就会变得很麻烦。
这样，我们就可以枚举每个\(k\)和\(j\)，来判断左右两边得值是否相等就行了。
首先，我们可以枚举j 将 \(b\times a^j\)放入map中。
然后，从小到大枚举\(k\),在哈希表中，找到最大的\(j\)满足 \(a^t \equiv b\times a^j\) 其中 t = \(k \times m\)
若存在\(k\times m -j\)就是方程的解
关于上文中，为什么要设\(m = sqrt(p)\)
是为了保证BSGS的复杂度，是左右两边的数尽可能的均匀。
例题
模板题，水过去了
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<cmath>
using namespace std;
#define LL long long
int a,b,p;
LL ksm(LL a, LL b)
{
LL res = 1;
for(; b; b >>= 1)
{
if(b & 1) res = res * a % p;
a = a * a % p;
}
return res;
}
int BSGS(int a,int b,int p)
{
map<LL,int> hash; hash.clear();
int m = (int)sqrt(p);
for(int i = 0; i <= m; i++)
{
LL val = ksm(a,i) * b % p;//b * a ^ i
hash[val] = i;//放入map中
}
a = ksm(a,m);//a ^ m
for(int i = 0; i <= m; i++)
{
LL val = ksm(a,i);//(a^m)^i
int j = hash.find(val) == hash.end() ? -1 : hash[val];//如果没有j就为-1
if(j >= 0 && i * m - j >= 0) return i * m - j;//找到一组解
}
return -1;
}
int main()
{
scanf("%d%d%d",&p,&a,&b);
LL ans = BSGS(a,b,p);
if(ans == -1) cout<<"no solution"<<endl;
else printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
一道很多算法综合在一起的模板题，水过去了。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<map>
using namespace std;
#define LL long long
int t,opt,a,b,p,x,y;
inline int read()
{
int s = 0, w = 1; char ch = getchar();
while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-') w = -1; ch = getchar();}
while(ch >= '0' && ch <= '9'){s = s * 10+ch -'0'; ch = getchar();}
return s * w;
}
LL gcd(LL a, LL b)
{
if(b == 0) return a;
else return gcd(b,a%b);
}
LL ksm(LL a, LL b)//快速幂
{
LL res = 1;
for(; b; b >>= 1)
{
if(b & 1) res = res * a % p;
a = a * a % p;
}
return res;
}
LL exgcd(int a,int b, int &x,int &y)//扩展欧几里得
{
if(b == 0)
{
x = 1;
y = 0;
return a;
}
LL gcd = exgcd(b,a%b,y,x);
y -= a / b * x;
return gcd;
}
LL BSGS(LL a,LL b,LL p)//BSGS
{
map<LL,int> hash; hash.clear();
int m = (int) sqrt(p);
b % p;
for(int i = 0; i <= m; i++)
{
LL tmp = ksm(a,i) * b % p;
hash[tmp] = i;
}
a = ksm(a,m);
if(a == 0) return b == 0 ? 1 : -1;//特判当a为0的情况
for(int i = 0; i <= m; i++)
{
LL tmp = ksm(a,i);
int j = hash.find(tmp) == hash.end() ? -1 : hash[tmp];
if(j >= 0 && i * m - j >= 0) return i * m - j;
}
return -1;
}
int main()
{
t = read(); opt = read();
while(t--)
{
a = read(); b = read(); p = read();
if(opt == 1)
{
LL ans = ksm(a,b);
printf("%lld\n",ans);
}
if(opt == 2)
{
LL k = exgcd(a,p,x,y);
if(b % k) cout<<"Orz, I cannot find x!"<<endl;
else printf("%lld\n",(x * (b/k) % p + p)%p);
}
if(opt == 3)
{
LL ans = BSGS(a,b,p);
if(ans == -1) cout<<"Orz, I cannot find x!"<<endl;//无解情况
else printf("%lld\n",ans);
}
}
return 0;
}
