左偏树 学习笔记
左偏树
左偏树到底是什么呢？？？ 左偏树实际上是可合并的堆。
他的节点不仅存了他的权值，还存了一个比较重要的信息 \(dis\)。
dis 的定义： 一个节点到他的子树中的叶子节点的最近距离。
维护\(dis\)有什么用呢？
当我们合并两个堆时，可能会导致堆退化成一条链，这样我们的询问操作的复杂度就会变成 O（n）。
这显然不是我们想看到的。
而左偏树就是靠 \(dis\) 来维护左右两颗子树的平衡。
性质
-
节点的权值小于他儿子节点的取值。
-
左偏树的任意节点的左儿子的距离都要比右儿子大（
不然他怎么叫左偏树呢雾） -
左偏树任意节点的距离等于右儿子的距离加一。
证明如下：
根据左偏性，可以得到他左儿子的距离要小于右儿子的距离，
而左偏树中距离的定义是一个节点到离其最近的外节点的距离，故为Dis(RightSon)+1。
- 一个n个节点的左偏树的距离最大为 log（n+1）-1（
不需要掌握）
证明如下：
若左偏树的距离为一定值，则结点数最少的左偏树是完全二叉树。
结点最少的话，就是左右儿子距离一样，这就是完全二叉树了。
若一棵左偏树的距离为k，则这棵左偏树至少有 \(2^{k+1}-1\) 个节点。
距离为k的完全二叉树高度也是k，节点数就是 \(2^{k+1}-1\) 个。
这样就可以证明性质四了。
因为 n>= \(2^{k+1}-1\)，所以 k<=log(n+1)-1。
操作
一 合并操作
首先，当我们要合并堆时，让要保持堆的性质，假设我们要维护小根堆，我们就要让根节点权值较小的放上边。
然后再让另一个树与他的右子树合并。
那么为什么要合并右子树呢？？？
因为左子树的距离是大于右子树的，合并左子树显然不优。
当我们合并完后，可能会出现这样一种情况，左子树的距离小于右子树，这时我们直接交换一下就行了。
代码
int merage(int x,int y)//返回根节点
{
if(x == 0 || y == 0) return x + y;//如果有一个为空，直接返回，不用合并
if(tr[x].val > tr[y].val) swap(x,y);//要满足堆的性质
tr[x].rc = merage(tr[x].rc,y);//合并右子树和另外一棵树
fa[tr[x].rc] = x;
if(tr[tr[x].lc].dis < tr[tr[x].rc].dis) swap(tr[x].lc,tr[x].rc);//满足性质二
tr[x].dis = tr[tr[x].rc].dis + 1;//满足性质三
return x;
}
二 插入一个点
一个点就相当于一棵树，直接合并就行了。
代码同上。
三 删除根节点
我们要删根节点，等于把根节点孤立出来，这时候我们只需要合并左右两颗子树就行了
代码
void del(int x)
{
tr[x].val = -1;//标记x已经被删除
fa[tr[x].lc] = tr[x].lc; fa[tr[x].rc] = tr[x].rc;//先把左右儿子的父亲都设为他自己，方便以后合并
fa[x] = merage(tr[x].lc,tr[x].rc);//保持原有的父子关系不变
}
例题
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e6+7;
int n,m,opt,x,y;
int fa[N],dis[N];
struct node{
int val;
int lc,rc;
int fa,dis;
}tr[N];
int inline read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
int find(int x){
if(tr[x].fa == x) return x;
else return tr[x].fa = find(tr[x].fa);
}
int merage(int x,int y){
if(x == 0 || y == 0) return x+y;
if(tr[x].val > tr[y].val || (tr[x].val == tr[y].val && x > y)){
swap(x,y);
}
tr[x].rc = merage(tr[x].rc,y);
tr[tr[x].rc].fa = x;
if(tr[tr[x].lc].dis < tr[tr[x].rc].dis) swap(tr[x].lc,tr[x].rc);
tr[x].dis = tr[tr[x].rc].dis + 1;
return x;
}
void del(int x){
tr[x].val = -1;
tr[tr[x].lc].fa = tr[x].lc, tr[tr[x].rc].fa = tr[x].rc;
tr[x].fa = merage(tr[x].lc,tr[x].rc);
}
int main(){
n = read(), m = read();
for(int i = 1; i <= n; i++){
tr[i].fa = i;
tr[i].val = read();
}
while(m--){
opt = read();
if(opt == 1){
x = read(); y = read();
int fx = find(x) , fy = find(y);
if(tr[x].val == -1 || tr[y].val == -1) continue;
if(fx == fy) continue;
tr[fx].fa = tr[fy].fa = merage(fx,fy);
}
else{
x = read();
if(tr[x].val == -1) cout<<-1<<endl;
else{
int y = find(x);
printf("%d\n",tr[y].val);
del(y);
}
}
}
return 0;
}
左偏树的裸题，和模板差不多
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e6+10;
char opt;
int n,t,x,y,fa[N];
struct node{
int lc,rc;
int val,dis;
}tr[N];
inline int read()
{
int s = 0, w = 1; char ch = getchar();
while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-') w = -1; ch = getchar();}
while(ch >= '0' && ch <= '9'){s = s * 10+ch -'0'; ch = getchar();}
return s * w;
}
int find(int x)
{
if(fa[x] == x) return x;
else return fa[x] = find(fa[x]);
}
int merage(int x,int y)
{
if(x == 0 || y == 0) return x + y;
if(tr[x].val > tr[y].val) swap(x,y);
tr[x].rc = merage(tr[x].rc,y);
fa[tr[x].rc] = x;
if(tr[tr[x].lc].dis < tr[tr[x].rc].dis) swap(tr[x].lc,tr[x].rc);
tr[x].dis = tr[tr[x].rc].dis + 1;
return x;
}
void del(int x)
{
tr[x].val = -1;
fa[tr[x].lc] = tr[x].lc; fa[tr[x].rc] = tr[x].rc;
fa[x] = merage(tr[x].lc,tr[x].rc);
}
int main()
{
n = read();
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
fa[i] = i;
tr[i].val = read();
}
t = read();
while(t--)
{
cin>>opt;
if(opt == 'M')
{
x = read(); y = read();
int xx = find(x), yy = find(y);
if(tr[x].val == -1 || tr[y].val == -1) continue;
if(xx == yy) continue;
fa[xx] = fa[yy] = merage(xx,yy);
}
else if(opt == 'K')
{
x = read();
int xx = find(x);
if(tr[x].val == -1)
{
printf("%d\n",0);
continue;
}
printf("%d\n",tr[xx].val);
del(xx);
}
}
return 0;
}
每次打架可以看成是删除两个堆的堆顶，插入一个数，合并两个堆。
左偏树随便维护一下就行。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e5+10;
int n,m,x,y,root,fa[N];
struct node
{
int lc,rc,dis,val;
}tr[N];
inline int read()
{
int s = 0, w = 1; char ch = getchar();
while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-') w = -1; ch = getchar();}
while(ch >= '0' && ch <= '9'){s = s * 10 + ch - '0'; ch = getchar();}
return s * w;
}
int find(int x)
{
if(fa[x] == x) return x;
else return fa[x] = find(fa[x]);
}
int merage(int x,int y)
{
if(!x || !y) return x + y;
if(tr[x].val < tr[y].val) swap(x,y);
tr[x].rc = merage(tr[x].rc,y);
fa[tr[x].rc] = x;
if(tr[tr[x].rc].dis > tr[tr[x].lc].dis) swap(tr[x].lc,tr[x].rc);
tr[x].dis = tr[tr[x].rc].dis + 1;
return x;
}
int del(int x)
{
fa[tr[x].lc] = tr[x].lc, fa[tr[x].rc] = tr[x].rc;
int root = merage(tr[x].lc,tr[x].rc);
fa[x] = root;
return root;
}
int main()
{
while(scanf("%d",&n) != EOF)
{
for(int i = 1; i <= n; i++) tr[i].lc = tr[i].rc = tr[i].dis = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i, tr[i].val = read();
m = read();
for(int i = 1; i <= m; i++)
{
x = read(); y = read();
int fx = find(x), fy = find(y);
if(fx == fy) printf("%d\n",-1);
else
{
root = del(fx);
tr[fx].lc = tr[fx].rc = 0; fa[fx] = fx; tr[fx].val /= 2;
fx = merage(fx,root);
root = del(fy);
tr[fy].lc = tr[fy].rc = 0; fa[fy] = fy; tr[fy].val /= 2;
fy = merage(fy,root);
fx = merage(fx,fy);
printf("%d\n",tr[fx].val);
}
}
}
}
