网络流
网络流
网络流概念
在一个有向图上选择一个源点，一个汇点，每一条边上都有一个流量上限（以下称为容量），
即经过这条边的流量不能超过这个上界，同时，除源点和汇点外，所有点的入流和出流都相等，
而源点只有流出的流，汇点只有汇入的流。这样的图叫做网络流。
相关定义
1. 源点：有n个点，有m条有向边，有一个点很特殊，只出不进，叫做源点。
-
汇点：另一个点也很特殊，只进不出，叫做汇点。
-
容量和流量：每条有向边上有两个量，容量和流量，从i到j的容量通常用c[i,j]表示,流量则通常是f[i,j].
通常可以把这些边想象成道路，流量就是这条道路的车流量，容量就是道路可承受的最大的车流量。
很显然的，流量<=容量。而对于每个不是源点和汇点的点来说，可以类比的想象成没有存储功能的货物的中转站，
所有“进入”他们的流量和等于所有从他本身“出去”的流量。
4. 最大流：把源点比作工厂的话，问题就是求从工厂最大可以发出多少货物，是不至于超过道路的容量限制，也就是，最大流。
增广路算法
该方法通过寻找增广路来更新最大流，有 EK,dinic,SAP,ISAP 主流算法。
求解最大流之前，我们先认识一些概念。
最常用的就是dinic 但是费用流需要用到EK算法，so，要学会EK算法，dinic；
增广路：在图中若一条从源点到汇点的路径上所有边的 剩余容量都大于 0 （注意是大于不是大于等于），这条路被称为增广路。
求解思路
从图中找一条增广路，然后增广，怎么找？
1.从源点开始bfs，找到到汇点的一条路径，并记录这条路径上所有边剩余流量最小值，因为要找增广
路，所以我们在bfs时要判断一下边的剩余容量是否为0，记得用一个pre数组记录下路径。
2.找到路径后，对其进行增广（代码里的up函数），增广就是把这条路径的每条边都减去这
些边中剩余流量的最小值（bfs时记录），反向边加上这个最小值（关于方向边下面再解释）。
3.一直找增广路增广，直到不能增广为止（找不到增广路）。
可以看下面这张图。
上面我们提到了反向边，下面我们解释下为什么要建反向边。（放图，简单图我还是可以的现学的）
像我们上面这张图，因为我们bfs时不能确定第一次走哪条边，要是你像bmf一样运气不好，
如果bfs第一次找到的增广路是1→3→2→1的话，我们最后求得的最大流就是1.
但是很明显这张图最大流是2，所以我们发现第一次找的增广路不是最优的，这时候你就凉了。
那我们怎么解决呢反向边，反向边其实就是一个反悔的机会，也就是让流过的流量流回去。
如果还不明白的话还学什么网络流，下面模拟一下这个过程。
先说一下反向边的一些东西，反向边初始化为0，当正向边剩余流量减少的是时候，
反向边流量增加同样的值，因为我们可以反悔的流量等于已经从这条边正向流过的流量。
下面看一下我们是如何通过反向边反悔的又要做图qaq。
因为我不会画反向边，所以我们假设‘1/0’左边那个数字表示正向变边权，右边是反向边。
下面这张图就是建完边后的图。
如果我们第一次找到的增广路是1→3→2→1的话，总流量+1=1，图就变成了
我们发现我们还可以找到增广路1→2→3→4，总流量+1=2，图变成
然后发现，找不到增广路了，程序结束不用作图了，我们发现
再找增广路的过程中3→2这条边正向一次，反向一次，相当于流量为0.
这就是反向边的作用。
另外提供一种小技巧，使用邻接表建图的话，可以边的编号从2开始建，我们知道
21=3,31=2……
这样的话我们可以通过异或得到反向边的编号（记得建完正向边，紧接着就建反向边），具体看代码
时间复杂度为O(nm2)至于为什么，本人很菜不会，另外，一般时间复杂度是远远达不到这个值的。
代码（由于本人没写过EK，所以从同学那扒了一份）
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#define LL long long
using namespace std;
const int inf=1<<29;
const int N=207;
const int M=5e3+7;
int n,m,s,t,cnt=1;//从编号2开始建边
LL maxf;//最大流
int head[N],vis[N],pre[N];
LL incf[N];
LL v[N][N];
struct edge{
int v,nxt;
LL w;
}e[M<<1];//因为要建反向边，所以开二倍空间
void add_edge(int u,int v,LL w){//存边
cnt++;
e[cnt].v=v;
e[cnt].w=w;
e[cnt].nxt=head[u];
head[u]=cnt;
}
bool bfs(){
memset(vis,0,sizeof(vis));
queue<int>q;
q.push(s);
vis[s]=1;
incf[s]=inf;
while(q.size()){
int now=q.front();q.pop();
for(int i=head[now];i;i=e[i].nxt){
if(e[i].w==0||vis[e[i].v])continue;
int to=e[i].v;
incf[to]=min(incf[now],e[i].w);//记录路径最小边的流量
pre[to]=i;//记录路径边的编号
q.push(to);
vis[to]=1;
if(to==t)return 1;
}
}
return 0;
}
void up(){
int x=t;
while(x!=s){
int i=pre[x];
e[i].w-=incf[t];
e[i^1].w+=incf[t];//反向边加上正向边减少的流量
x=e[i^1].v;
}
maxf+=incf[t];
}
inline int read()
{
int x = 0 , f = 1; char ch = getchar();
while(ch < '0' || ch > '9') {if(ch == '-') f = -1; ch = getchar();}
while(ch >= '0' && ch <= '9') {x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48); ch = getchar();}
return x * f;
}
int main(){
n = read(); m = read(); s = read(); t = read();
for(int i=1;i<=m;i++){
int x,y,z;
x = read(); y = read(); z = read();
v[x][y] += z;
}
for(int i = 1;i <= n;i ++) for(int j = 1;j <= n;j ++) if(v[i][j]) add_edge(i,j,v[i][j]),add_edge(j,i,0);
while(bfs())up();
cout<<maxf<<endl;
}
//码风过丑，请联系Aswert 这锅我不背
Dinic 算法
学了EK还学dinic有什么用呢，有用，我们来分析下下面这张图不小心把颜色改了下，懒得再做一张。
如果你运气不好的话像bmf一样，若你每次找到的增广路都经过了2→3或3→2这条边的话你又凉了
所以这时候就用到了我们的Dinic算法。
Dinic 算法 的过程是这样的：每次增广前，我们先用 BFS 来将图分层。设源点的层数为1 ，
那么一个点的层数便是它离源点的最近距离。
层次用数组dep表示。分层图对于每条边满足dep[v]=dep[u]+1。
我们思考，EK算法每轮可能会遍历整个图，但只找出一条增广路，属于单路增广。
而Dinic属于多路增广，时间复杂度O(n2m)
求解思路
1.bfs求出节点的层次，构建分层图
2.对于求出的分层图，用dfs进行多路增广，由于本人菜，讲的不是很明白，我们可以看代码
3.当前弧优化 ：cur[]数组的应用，如果一条边已经被增广过，那么它就没有可能被增广第二次。那么，我们下一次进行增广的时候，
就可以不必再走那些已经被增广过的边。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
#define LL long long
const int INF = 2333333;
const int N = 210;
int n,m,x,y,w,s,t,tot = 1;
LL maxflow;
int dep[N],head[N];
struct node{
int to , net , w;
}e[1000010];
inline int read()
{
int s = 0 , w = 1; char ch = getchar();
while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-')w = -1; ch = getchar();}
while(ch >= '0' && ch <= '9'){s = s * 10+ch-'0'; ch = getchar();}
return s * w;
}
void add(int x, int y , int w)
{
e[++tot].w = w;
e[tot].to = y;
e[tot].net = head[x];
head[x] = tot;
}
bool bfs()//构建分层图
{
memset(dep , 0 , sizeof(dep));//每个节点层次初始化
queue<int> q;
q.push(s); dep[s] = 1;//源点初始化为1；
while(!q.empty())
{
int x = q.front(); q.pop();
for(int i = head[x]; i; i = e[i].net)
{
int to = e[i].to;
if(e[i].w && !dep[to])//构建分层图的时候要保证边不为0,如果dep[]已经被更新就不用更新了
{
q.push(to);
dep[to] = dep[x] + 1;
if(to == t) return 1;//如果到达汇点，进行dfs
}
}
}
return 0;
}
int dinic(int x , int flow)
{
if(x == t) return flow;
int rest = flow , k;//rest表示当前这个节点最大允许通过流量
for(int i = head[x]; i && rest; i = e[i].net)
{
int to = e[i].to; int val = e[i].w;
if(val && (dep[to] == dep[x] + 1))//寻找增广路
{
k = dinic(to , min(rest , val));
if(!k) dep[to] = 0;//如果在to之后的路径找不到增广路,踢出分层图
e[i].w -= k; e[i^1].w += k;
rest -= k;//当前节点最大允许通过流量减去这次通过的流量
}
}
return flow - rest;
}
int main()
{
n = read(); m = read(); s = read(); t = read();
for(int i = 1; i <= m; i++)
{
x = read(); y = read(); w = read();
add(x,y,w); add(y,x,0);
}
int flow = 0;
while(bfs())
{
while(flow = dinic(s,INF)) maxflow += 1LL*flow;
}
printf("%lld\n",maxflow);
return 0;
}
最小割
最小割问题是指：给出一种有向图（无向图）和两个点s，t以及图中的边的边权，
求一个权值和最小的边集，使得删除这些边之后是s，t不连通。这类问题，一般运用最
大流等于最小流定理，求出最大流来解决。证明自行百度百科
代码同上。
转载于jbh大佬的博客
ENDing！
