莫比乌斯反演

莫比乌斯反演相关

莫比乌斯函数

 狄利克雷卷积

设f(n)、g(n)是两个数论函数，它们的狄利克雷乘积也是一个数论函数，其定义为：

简记为h(n)=f(n)*g(n)。

函数f(n)与g(n)的狄利克雷乘积也可以表示为

常用狄利克雷卷积

1.

，即

2.

，其中N(n)=n,即

3.

，其中N(n)=n,即

4.

5.

莫比乌斯反演

设和是定义在正整数集合上的两个函数,定义如下。

 

若函数满足：

 

 

则有

例题

求1<=i<=n,1<=j<=m，gcd(i,j)==d的对数。

先让n/=d,m/=d，变成求gcd(i,j)==1的对数。

然后预处理出μ(d)的前缀和，O(sqrt(n))枚举d即可。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define lli long long int
using namespace std;
const int maxn=5e4+1e2;

int mu[maxn];
lli sum[maxn];

inline void gen() {
    static int prime[maxn],cnt;
    static unsigned char vis[maxn];
    sum[1] = mu[1] = 1;
    for(int i=2;i<maxn;i++) {
        if( !vis[i] ) {
            prime[++cnt] = i,
            mu[i] = -1;
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<maxn;j++) {
            vis[i*prime[j]] = 1;
            mu[i*prime[j]] = -mu[i];
            if( ! ( i % prime[j]) ) {
                mu[i*prime[j]] = 0;
                break;
            }
        }
        sum[i] = sum[i-1] + mu[i];
    }
}

inline lli calc(int n,int m) {
    lli ret = 0;
    if( n > m )
        swap(n,m);
    int pos = 0;
    for(int i=1;i<=n;i=pos+1) {
        pos = min( n / ( n / i ) , m / ( m / i ) );
        ret += ( sum[pos] - sum[i-1] ) * ( n / i ) * ( m / i );
    }
    return ret;
}

int main() {
    static int T;
    int a,b,d;
    
    gen();
    
    scanf("%d",&T);
    
    while( T-- ) {
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&d);
        a /= d , b /= d;
        printf("%lld\n",calc(a,b));
    }
    
    return 0;
}