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[NOIP2013 提高组] 火柴排队

题目描述

涵涵有两盒火柴，每盒装有 \(n\) 根火柴，每根火柴都有一个高度。 现在将每盒中的火柴各自排成一列， 同一列火柴的高度互不相同， 两列火柴之间的距离定义为：\(\sum (a_i-b_i)^2\)。

其中 \(a_i\) 表示第一列火柴中第 \(i\) 个火柴的高度，\(b_i\) 表示第二列火柴中第 \(i\) 个火柴的高度。

每列火柴中相邻两根火柴的位置都可以交换，请你通过交换使得两列火柴之间的距离最小。请问得到这个最小的距离，最少需要交换多少次？如果这个数字太大，请输出这个最小交换次数对 \(10^8-3\) 取模的结果。

对于 \(100\%\) 的数据，\(1 \leq n \leq 10^5\)，\(0 \leq\) 火柴高度 \(< 2^{31}\)。

分析

依题意模拟即可

注意到，可以随意对两个数组进行排序。

分析可知若需要 \(\sum (a_i-b_i)^2\) 最小，可以让两数组都有序（单调性相同）。

如果考虑对两个数组都进行若干次交换，情况太复杂了。

发现这完全可以转化为只对其中一个数组的交换（比如说 \(b_i\)）。

又注意到，这两个数组的对应位置是相对独立的，那么有以下做法：

• 对 \(b_i\) 进行若干次交换，使得 \(b_i\) 作为第 \(k\) 大的数与 \(a_i\) 同样也是第 \(k\) 大的数相对应。
• （第 \(k\) 大指相对于各自的数组）

但是 \(a_i\) 不是有序的，这是如果对 \(b_i\) 进行排序，会很难处理，考虑进行转化。

假设 \(a_i\) 一开始就是有序的，那么只需要对 \(b_i\) 从小到大排序即可。

答案就是 \(b_i\) 中逆序对的数量，用树状数组维护。

如何进行转化呢？ 需要重新指定数字间的大小关系。

关系是什么呢？ 从 \(a_i\) 来。

如果认为 \(a_i\) 是第 \(i\) 小的数，就可以以此对 \(b_i\) 进行排序了。

不要忘了进行离散化！（把值域缩到 \([1, n]\)）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 5;
const int mod = (114514+114514)*(-11+451-4)+114514+114*51*4+114*51+4+1/1-4+51*4;

int n, ans;
int a[N], b[N], to[N];

struct bitree{
    int c[N], res;
    inline int lb(int x) { return x & (-x); }
    inline void add(int x, int v){
        for (; x <= n; x += lb(x))
            c[x] += v;
    }
    inline int find(int x){
        for (res = 0; x; x -= lb(x))
            res += c[x];
        return res;
    }
    inline int find(int x, int y){
        return find(y) - find(x - 1);
    }
}tr;

map<int, int> mpa, mpb;

signed main(){
    
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> a[i], mpa[a[i]] = i;
    
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> b[i], mpb[b[i]] = i;
    
    sort(a + 1, a + 1 + n); sort(b + 1, b + 1 + n);
    
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        to[mpa[a[i]]] = mpb[b[i]];
    
    for (int i = 1; i <= n; i++){
        ans = (ans + tr.find(n - to[i])) % mod;
        tr.add(n - to[i] + 1, 1);
    }
    
    cout << ans;
    
    
    return 0;
}

Written with StackEdit中文版.