算法导论-第9章-中位数和顺序统计量

一个包含 \(n\) 个元素的集合中的第 \(i\) 个顺序统计量指集合中的第 \(i\) 小的元素。最小值是第 \(1\) 个顺序统计量（\(i= 1\)），最大值是第 \(n\) 个顺序统计量（\(i = n\)）。

9.1节将讨论从集合中找出最小值和最大值的问题。9.2节将分析一个实用的算法，它在元素互异的条件下可以达到 \(\Omicron(n)\) 的期望运行时间。9.3节将给出一个更具有理论意义的算法，最坏情况下的运行时间为 \(\Omicron(n)\) 。

9.1 最小值和最大值

MINIMUM(A)
	min = A[1]
	for i = 2 to A.length
		if min > A[i]
			min = A[i]
    return min

MAXIMUM(A)
	max = A[1]
	for i = 2 to A.length
		if max < A[i]
			max = A[i]
    return max

MINIMUM和MAXIMUM都要进行 \(n-1\) 次比较。

同时找到最大和最小值

• 分别独立地找到最小值和最大值，这各需要 \(n-1\) 次比较，共需 \(2n-2\) 次比较。

• 事实上，只需要最多 \(3 \lfloor n/2 \rfloor\) 次比较就可以同时找到最小值和最大值。首先，将一对输入元素相互进行比较，然后把较小的与当前最小值比较，把较大的与当前最大值进行比较。这样，每两个元素共需比较3次。

如果 \(n\) 是奇数，那么总共进行 \(3 \lfloor n/2 \rfloor\) 次比较。如果 \(n\) 是偶数，则是先进行一次初始比较，然后进行 \(3(n-2)/2\) 次比较，共 \(3n/2-2\) 次比较。因此，无论哪种情况，总的比较次数最多为 \(3 \lfloor n/2 \rfloor\)。

9.2 期望为线性时间的选择算法

需要先了解快速排序和随机化快速排序。

RANDOMIZED-SELECT以快速排序为模型。与快速排序不同的是，快速排序会递归处理划分的两边，而RANDOMIZED-SELECT只处理划分的一边。快速排序的期望运行时间为 \(\Theta(n \log n)\)，而RANDOMIZED-SELECT的期望运行时间为 \(\Theta(n)\)。

RANDOMIZED-SELECT(A, p, r, i)
    if p == r
        return A[p]  // 1 ≤ i ≤ r - p + 1 when p == r means that i = 1
    q = RANDOMIZED-PARTITION(A, p, r)
    k = q - p + 1
    if i == k
        return A[q]  // the pivot value is the answer
    elseif i < k
        return RANDOMIZED-SELECT(A, p, q - 1, i)
    else return RANDOMIZED-SELECT(A, q + 1, r, i - k)

9.3 最坏情况为线性时间的选择算法