组合数学_第1章_排列与组合

第1章 排列与组合

1.1 排列与组合

定义：设A={$a_1$,$a_2$,$a_3$,…$a_n$}是$n$个不同元素的集合，$m$满足$0≤m≤n$,任取A中个（不重复的）元素，按次序排列，称为从$n$个中取$m$个的（无重）排列，用$P_n^m$或$P(n,m)$表示。当$m=$n时，称为全排列。一般不说可重即无重。

$$P(n,m)=n(n-1)···(n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!}$$

定义：当从$n$个元素中取出$m$个而不考虑它的顺序时，称为从$n$个中取$r$个的组合。用$C_n^m$或$C(n,m)$表示。

若在每一种组合的基础上，再将盒子标号区别，且对盒子进行排列，便得到$n$取$r$的排列，所以有$P(n,m)=C(n,m) \cdot n!$

例题：试求由{1,3,5,7}组成的数字不重复出现的整数的总和？

解：这样的整数可以是1位数、2位数、3位数、4位数，其数目为$P_4^1+P_4^2+P_4^3+P_4^4=4+12+24+24=64$，即求这64个数的和。统计各自在个位、十位、百位、千位上数值的总和，设它们的总和分别为$S_1$、$S_2$、$S_3$、$S_4$，则问题所求的和$S=S_1+10S_2+100S_3+1000S_4$

（1）$S_1$的计算

一位数中个位数之和为$(1+3+5+7)P_3^0=16$，

两位数中个位数之和为$(1+3+5+7)P_3^1=48$（1在个位，十位有$P_3^1$种选择，3、5、7在个位同样如此）

三位数中个位数之和为$(1+3+5+7)P_3^2=96$，

四位数中个位数之和为$(1+3+5+7)P_3^3=96$，

故$S_1=(1+3+5+7)(P_3^0+P_3^1+P_3^2+P_3^3)=(16+48+96+96)=256$

（2）$S_2$的计算，即计算在十位数的和

$S_2=(1+3+5+7)(P_3^1+P_3^2+P_3^3)=16 \times 15=240$

（3）$S_3$的计算

$S_3=(1+3+5+7)(P_3^2+P_3^3)=16 \times 12=192$

（4）$S_4$的计算

$S_2=(1+3+5+7)P_3^3=16 \times 6=96$

故$S=256+240 \times 10+192 \times 100 + 96 \times 1000=117856$

1.2 加法法则与乘法法则

[加法法则] 设事件A有$m$种产生方式，事件B有$n$种产生方式，则事件A或B之一有$m+n$种产生方式。

[乘法法则] 设事件A有$m$种产生方式，事件B有$n$种产生方式，则事件A与B有$m \cdot n$种产生方式。

1.3 一一对应

“一一对应”概念是一个在计数中极为基本的概念。一一对应既是单射又是满射。在组合计数时往往借助于一一对应实现模型转换。比如要对A集合计数，但直接计数有困难，于是可设法构造一易于计数的B，使得A与B一一对应。

例题：某保密装置须同时使用若干把不同的钥匙才能打开。现有7人，每人持若干把钥匙。须4人到场才能开锁。问：（1）至少有多少把不同的钥匙？（2）每人至少持几把钥匙？

解：由题知，要保证任意3个人到场都开不了锁，任意4个人到场才能开锁。

（1）任意3个人缺的钥匙都不同，如果甲乙丙缺的钥匙和甲乙丁缺的钥匙一样，那么他们4个人就不能开门了。也就是说，任意3个人都会缺一把钥匙，且他们缺的钥匙不一样。故至少有$C_7^3$种

（2）任意4个人都不缺钥匙，任意一人对于其他6人中的3人，都至少有一把不同的钥匙能配合着开门。即其他6人中的3人都缺一把钥匙，缺$C_6^3$把，需要第四个人至少有$C_6^3$把钥匙。故每人至少持$C_6^3$把钥匙。

1.4 多重排列

自由多重：$\stackrel{}{ } \mathbf{M}=\left\{\infty a_1, \infty a_2, \cdots, \infty a_n\right\}$

受限多重：$\mathbf{M}=\left\{\mathbf{k}_1 a_1, \mathbf{k}_2 a_2, \cdots, \mathbf{k}_n a_n\right\}$

在自由情况下，从$n$中取$m$个作多重排列，排列数$n^m$

在受限情况下，$k_1$个$a_1$，$k_2$个$a_2$，…，$k_m$个$a_m$的排列数，设$k_1+k_2+...+k_m=n$，设此排列数为$P(n;k_1,k_2,...,k_m)$

$$P\left(\mathbf{n}; \mathbf{k}_1, \mathbf{k}_2, \ldots, \mathbf{k}_{\mathrm{m}}\right)=\frac{\mathbf{n !}}{\mathbf{k}_{1} ! \mathbf{k}_{2} ! \ldots \mathbf{k}_{\mathrm{m}} !}=\left(\begin{array}{c}\mathbf{n} \\ \mathbf{k}_1 \mathbf{k}_2 \ldots \mathbf{k}_m\end{array}\right)$$

这是一种元素重复的排列！

例题：用长度为$1\times1$,$1\times2$,$1 \times 3$的方砖铺设$1 \times 7$的模块，有几种方式？

解：（1）用7块$1 \times 1$的砖，有$1$种方式。

（2）用5块$1 \times 1$的砖，1块$1 \times 2$的砖，有$\frac{6!}{5!}=6$种方式

（3）用4块$1 \times 1$的砖，1块$1 \times 3$的砖，有$\frac{5!}{4!}=5$种方式

（4）用3块$1 \times 1$的砖，2块$1 \times 2$的砖，有$\frac{5!}{3! \cdot {2!}}=10$种方式

（5）用2块$1 \times 1$的砖，1块$1 \times 2$的砖，1块$1 \times 3$的砖，有$\frac {4!} {2!}=12$种方式

（6）用1块$1 \times 1$的砖，3块$1 \times 2$的砖，有$\frac{4!}{3!}=4$种方式

（7）用1块$1 \times 1$的砖，2块$1 \times 3$的砖，有$\frac{3!}{2!}=3$种方式

（8）用2块$1 \times 2$的砖，1块$1 \times 3$的砖，有$\frac{3!}{2!}=3$种方式

总共有1+6+5+10+12+4+3+3=44种方式

延伸1：特定排列也会产生多重排列结果

例题：10男10女乘车出游，每车2男2女，几种方案？假设车辆无区别

解：（1）多队分组？$\frac{(10 !)^2}{5 ! \times 2^{10}}$

（2）若有一对男女要求同车呢？$\frac{(9 !)^2}{4 ! \times 2^8}$

（3）若有两队男女要求同车呢？这要求同车的两队男女可以在一辆车上，也可以在两辆车上。如果在一辆车上，那么只需要将剩下的8男8女分配在四辆车上；如果不在一辆车上，那么需要从剩下的8男8女中选出2男2女与他们同车，然后再分配剩下的6男6女。$\frac{(8 !)^2}{4 ! \times 2^8}+\left(P_8^2\right)^2 \frac{(6 !)^2}{3 ! \times 2^6}$

延伸2：多重排列与组合

多重排列既可以看作排列的拓展，也可以看作组合的拓展。

例题：$2n$个物品两两配对（同一组之内两两配对，也就是分组）？分成两组配对呢？若是两组物品，每组$n$个不同的物品，两两配对呢？

解：（1）分为$n$组，每组2个。“组”是没有区别的。$\frac{(2n !)}{n ! \times 2^{n}}$

（2）$\frac{(2n !)}{2 ! \times (n!)^{2}}$

（3）记两组分别为A、B，A组的第一个物品和B组的物品配对有n种选择，A组的第二个物品和B组的物品配对有n-1种选择，...，以此类推。共有$n!$种方案。$n!$

1.5 圆周排列

定义：从$n$个对象中取$m$个沿一圆周的排列，用$Q_n^m$或$Q(n,m)$表示

$Q_n^m$与$P_n^m$的关系是$Q_n^{m}=\frac {P_n^m} m$，特别地，有$Q_n^{n}=\frac {P_n^n} n=(n-1)!$

例题：主人夫妇邀请另外三对夫妇共进晚餐，围一圆桌均匀而坐。（1）随意入座。（2）男女相间入座。（3）男女相间入座，且每对夫妻都相邻。（4）男女相间入座，但每对夫妻不全相邻。（5）男女相间入座，但每对夫妻都不相邻。（6）男女相间入座，但主人夫妇不相邻。

解：（1）$Q_8^8$

（2）$Q_4^4 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

（3）$Q_4^4 \times 2$

（4）$Q_4^4 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 - Q_4^4 \times 2$

（5）$Q_4^4 \times 2$

（6）$Q_4^4 \times 2 \times 3 \times 2 \times 1$

例题：5个红球，6个蓝球，7个黄球串成一个项链，多少种方案？假定同色球无区别。若取其中三个球串成一环，有几种方案？

解：$\frac {18!} {{5!} \times {6!} \times {7!} \times 18 \times 2}$，除以2是因为项链的正反两面是相同的。3个相同颜色：3种；3个不同颜色：1种；3个两种颜色：$P(3,2)$（一种颜色两个球，一种颜色一个球），共$3+1+P_3^2$种方案。

例题：$n$个人围着桌子均匀而坐，如果是正方形的桌子呢？如果是正$k$边形呢？

解：正方形的桌子，每边都是$\frac {n} {4}$人，每边都是全排列，有$\frac {P_n^n} {4}$种方案。如果是正$k$边形的桌子，有$\frac {P_n^n} {k}$种方案。

1.6 多重组合

定义：多重组合是指从$A=\{1,2,...,n\}$中取$m$个元素$\{a_1,a_2,...,a_m\}$，$a_i\epsilon A$，$i=1,2,...,m$，而且允许$a_i=a_j$。用$\overline{C_n^m}$表示。

定理：从$n$个不同元素中取$m$个作允许重复的组合，其组合数为$C_{n+m-1}^m$

注意：允许重复的组合的典型模型是$m$个相同的球放进$n$个不同的盒子里，每个盒子可多于一个球，也可空盒。而后一问题又可以转换为$m$个相同的球与$n-1$个相同的盒壁的排列的问题。

易知所求计数为$\frac {(n+m-1)!} {m!(n-1)!}=C_{n+m-1}^m$

例题：$(x+y+z)^4$有多少项？

解：问题相当于4个无标志的球放入3个有标志$x$,$y$,$z$的盒子，根据定理可知有$C(3+4-1,4)=C(6,4)=15$

定理：线性方程$x_1+x_2+...+x_n=m$，$n$和$m$都是整数，$n \ge 1$，则此方程的非负整数解的个数为：$C_{n+m-1}^{m}$，即为简单的整数拆分。

例题：（1）将1000000分解成xyz三个正因数的乘积，有几种方法？（2）将1000000分解成三个相同的正因数的乘积，有几种方法？（3）将1000000分解成三个正因数的乘积，其中恰有两个相同有几种方法？（4）将1000000分解成三个不同的正因数的乘积，有几种方法？

解：$100000=2^6 \cdot 5^6，x=2^{x_1}5^{x_2}，y=2^{y_1}5^{y_2}，z=2^{z_1}5^{z_2}$

（1）$x_1+y_1+z_1=6，x_2+y_2+z_2=6，(C_{3+6-1}^{6})^2=28^2=784$

（2）1种

（3）$2x_1+z_1=6，2x_2+y_2=6$

$x_1$	$y_1=x_1$	$z_1$	$x_2$	$y_2=x_2$	$y_2$
0	0	6	0	0	6
1	1	4	1	1	4
2	2	2	2	2	2
3	3	0	3	3	0

去掉两边都是2，2，2的情况，还剩$4 \times 4-1=15$种

（4）$\frac {784-1-15}{3!}=123$

例题：20本书放到5个书架上，可以有空架。（1）书有区别，书架有区别，不考虑书顺序。（2）书有区别，书架有区别。（3）书没区别，书架有区别。（4）书有区别，书架有区别，每个书架放4本，不考虑书的顺序。（5）书有区别，书架没区别，每个书架放4本，不考虑书的顺序。（6）书没区别，书架有区别，每个书架放4本。

解：（1）因为不考虑书的顺序，所以任意一本书在5个书架上都可以随便放。$5^{20}$

（2）相当于24本书做全排列，其中选4本做书架的隔板隔离成5个书架，隔板没有区别。$\frac {24!}{4!}$

（3）$C_{5+20-1}^{20}=C_{24}^{20}$

（4）$\frac {20!} {(4!)^5}$

（5）$\frac {20!} {5!(4!)^5}$

（6）$1$

定理：线性方程$x_1+x_2+...+x_n=m$，$n$和$m$都是整数，$n \ge 1$，若$x_i \ge 1$，则此方程的非负整数解的个数为：$C_{n+m-n-1}^{m-n}=C_{m-1}^{m-n}=C_{m-1}^{n-1}$。可以理解为$m$个无区别的球放到$n$个有区别的盒子里，每个盒子不允许空盒。

例题：将12个红球、1个蓝球和1个绿球分给4个人，每人至少分得1个球，多少种方案？

解：先考虑分蓝球和绿球，当蓝球和绿球分别在两个人手中时，即$P_4^2$，再分剩下的12个红球，$x_1+x_2+x_3+x_4=12,x_1 \ge 0,x_2 \ge 0,x_3 \ge 1,x_4 \ge 1$，再给$x_3$和$x_4$各一个红球，问题转换为$x_1+x_2+x_3+x_4=10,x_1 \ge 0,x_2 \ge 0,x_3 \ge 0,x_4 \ge 0$，即$C_{4+10-1}^{10}$，此时有$P_4^2 \cdot C_{4+10-1}^{10}$种方案，也可以理解为，将14个无区别的球给四个人，每人至少一个球，再选择四人中的两人，一人有蓝，一人有绿；同理可得，当蓝球和绿球再一个人手中时，即$4$种，剩下12个红球$x_1+x_2+x_3+x_4=9,x_1 \ge 0,x_2 \ge 0,x_3 \ge 0,x_4 \ge 0$，即$C_{4+9-1}^{9}$，此时有$4 \cdot C_{4+9-1}^{9}$种方案。综上，共有$P_4^2 \cdot C_{4+10-1}^{10}+4 \cdot C_{4+9-1}^{9}=P_4^2 \cdot C_{13}^{10}+4C_{12}^{9}$种方案。

定理：从$A=\{1,2,...,n\}$中取$m$个作不相邻的组合，即不存在相邻两个数$j$和$j+1$的组合，球盒模型为有区别的$n$个球排成一行，从中取$m$个不相邻的球，其组合数为$C_{n-r+1}^{r}$，

简单的整数有序拆分问题：（1）所谓简单是指整数拆分的每项基数都是1，即$5=3\times1+2\times1$；（2）所谓有序是指拆分出的元素有顺序，即盒子有区别，5=2+3和5=3+2看作不一样。

1.8 组合意义

简单格路问题：从(0, 0)点出发沿$x$轴或$y$轴的正方向每步走一个单位，最终走到(m, n)点，有多少条路径？

$$|(0,0) \rightarrow(\mathrm{m}, \mathrm{n})|=\left(\begin{array}{c}\mathbf{m+n} \\ \mathbf{m}\end{array}\right)$$

可以用来证明如下公式：

$$C(n,r)=C(n-1,r-1)+C(n-1,r)$$

$$\left(\begin{array}{c}\mathbf{n} \\ \mathbf{n}\end{array}\right)+ \left(\begin{array}{c}\mathbf{n+1} \\ \mathbf{n}\end{array}\right)+ \left(\begin{array}{c}\mathbf{n+2} \\ \mathbf{n}\end{array}\right)+ ...+ \left(\begin{array}{c}\mathbf{n+m} \\ \mathbf{n}\end{array}\right)= \left(\begin{array}{c}\mathbf{n+m+1} \\ \mathbf{n+1}\end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{c}\mathbf{n} \\ \mathbf{0}\end{array}\right)+ \left(\begin{array}{c}\mathbf{n} \\ \mathbf{1}\end{array}\right)+ \left(\begin{array}{c}\mathbf{n} \\ \mathbf{2}\end{array}\right)+ ...+ \left(\begin{array}{c}\mathbf{n} \\ \mathbf{n}\end{array}\right)= 2^n$$

$$\left(\begin{array}{c}\mathbf{m+n} \\ \mathbf{m}\end{array}\right)= \left(\begin{array}{c}\mathbf{m} \\ \mathbf{0}\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}\mathbf{n} \\ \mathbf{0}\end{array}\right)+ \left(\begin{array}{c}\mathbf{m} \\ \mathbf{1}\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}\mathbf{n} \\ \mathbf{1}\end{array}\right)+ ...+ \left(\begin{array}{c}\mathbf{m} \\ \mathbf{m}\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}\mathbf{n} \\ \mathbf{m}\end{array}\right)$$

例题：从(0,0)点到(m,n)点，其中$m\lt n$，要求中间所经过的路径上的点(a,b)恒满足$a\lt b$。问有多少种不同的路径？

解：由题知，不接触“对角线”$y=x$，从(0,0)点的第一步必须到(0,1)点，而不是到(1,0)点。问题可转化为求从(0,1)点到(m,n)点满足要求的路径数。从(0,1)点到(m,n)点的格路，有的接触$y=x$，有的不接触。对每一条接触$y=x$的格路$S$（实线），设最后一个接触点为$P_k$，做一条从(1,0)到(m,n)的格路（虚线），该格路从(1,0)到$P_k$的部分与$S$关于$y=x$的对称，余下的部分与$S$重合。

容易看出从(0,1)到(m,n)接触$y=x$的格路与(1,0)到(m,n)的格路(必穿过$y=x$)一一对应。

则所求的路径数=(0,1)到(m,n)的所有路径数-(1,0)到(m,n)的所有路径数。即$\left(\begin{array}{c}\mathbf{m+n-1} \\ \mathbf{m}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}\mathbf{m+n-1} \\ \mathbf{m-1}\end{array}\right)$

若条件改为可接触但不可穿过，则限制线要向下或向右移一格，即$y=x-1$，(0,0)关于$y=x-1$对称的点为(-1,-1)。所求格路数为$\left(\begin{array}{c}\mathbf{m+n} \\ \mathbf{m}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}\mathbf{m+n} \\ \mathbf{m-1}\end{array}\right)$