微分方程、动力系统与混沌导论 第4章 平面系统的分类
第4章 平面系统的分类
在本章，我们将用一种动力系统的观点对迄今所得到的结论进行总结。这意味着我们将至少得到$2 \times 2$自治线性系统所有可能行为的一本完整字典。我们先通过迹-行列式平面以几何方式给出一种字典，另一种字典则要更具有动力系统味道，此时需要用到共轭系统的概念。
4.1 迹-行列式平面
对一个矩阵
\[\boldsymbol A = \left( \begin{array}{l}a&b\\c&d \end{array}\right),\]
我们知道它的特征值就是它的特征方程
\[\lambda^2 -(a+d)\lambda + (ad-bc) = 0\]
的根。特征方程的常数项就是$\text {det} \boldsymbol A$，$\lambda$的系数也有一个名字——$a+d$称为$\boldsymbol A$的迹，记为$\text {tr} \boldsymbol A$。
于是特征值满足方程
\[\lambda^2 -(\text {tr} \boldsymbol A)\lambda +\text {det} \boldsymbol A = 0,\]
由此可解得
\[\lambda_{\pm} = \frac{1}{2}\left( \text {tr} \boldsymbol A \pm \sqrt {(\text {tr} \boldsymbol A)^2 -4 \text {det} \boldsymbol A} \right).\]
记$T=\text {tr} \boldsymbol A$，$D = \text {det} \boldsymbol A$。知道了$T$和$D$也就知道了$\boldsymbol A$的两个特征值，从而也就知道了$\boldsymbol X'=\boldsymbol {AX}$解的几乎所有几何特征。例如，从$T$和$D$的取值，我们可以知道解是盘旋地趋于还是远离原点，是否存在一个中心，等等。
我们将通过在迹-行列式平面上画一个图来形象地给出这种分类。在这个图中，迹为$T$，行列式为$D$的矩阵对应于一个坐标为$(T,D)$的点。该点在$TD$平面上的位置就确定了相图的几何特征。例如$T^2 - 4D$的符号可以告诉我们特征值的虚、实、(实部)正、负的情况。从而，从$TD$平面上$(T,D)$点相对于抛物线$T^2-4D <0$的位置就可以得到$\boldsymbol A$的特征值的代数信息。所所有信息一点点在$TD$平面上描绘出来，我们就得到了所有不同线性系统的一个生动的概观。上面的那些方程将$TD$平面分成了一些不同的区域，每一个区域对应于一类特定的系统，见图4.1。这就得到了$2 \times 2$线性系统的一个几何分类。
下面我们要依次给些注记。首先，迹-行列式平面只是一个实际上的四维空间的二维表示：$2 \times 2$矩阵是由四个参数，即矩阵的四个元素所确定的。因而$TD$平面上的每一个点都对应无穷多个不同的矩阵。虽然每一个矩阵都有相同的特征值，但相图却可能会有些许不同，例如，对于中心、螺线汇点和螺线源点，旋转的方向可以不同，对于得特征值情形，线性无关的特征向量的个数可以是1或2。
我们也可以将迹-行列式平面看成平面线性系统的某种分岔图。一个线性系统的单参数族对应于$TD$平面上的一条曲线，当这条曲线穿过$T$轴、$D$轴的正半轴或者抛物线$T^2-4D=0$时，线性系统的相图就会产生分岔：相图的几何开关将有大的变化。
最后需要说明的是，即使不算出系统的特征值，我们也可以从$D，T$的取值上得到系统相当多的信息，例如，只要$D<0$，我们就知道原点为一鞍点，类似地，如果$D$和$T$都是正的，则原点是一源点。
4.2 动力学分类
在本节，我们给出平面线性系统的另外一种更动力学的分类。从动力系统的观点看，我们通常关系微分方程解的长期行为。如果两个系统的解在将来是一样的，则它们就是等价的。为了说得准确，我们先回忆1.5节引入的一些概念。
为了强调解对时间和初值条件$\boldsymbol A_0$的同时依赖性，我们用$\phi_t(X_0)$来表示满足初值条件$X-0$的解，即$\phi_0(X_0) = X_0$。函数$\phi(t,X_0) = \phi_和(X_0)$称为微分方程的流。(意思是，如果初始值给定，解就是时间$t$的函数，时间在流逝，因此称为流，也就再合适不过了。流是依赖于时间和初值的函数)，而$\phi_t$则称为流的时间$t$映射。
我们认为两个系统是动力等价的(意思是从长期来看，稳定解是一样)，如果存在函数$h$，它将一个流变为另一个流，这里的函数要求为同胚，即，$h$是一对一的、满的连续函数，并且它的逆也是连续的。
定义 假设$\boldsymbol X' = \boldsymbol {AX}$和$\boldsymbol X' = \boldsymbol {BX}$的流分别为$\phi^\boldsymbol A$和$\phi^\boldsymbol B$。这两个系统称为(拓扑)共轭的，如果存在同胚$h:\mathbb R^2 \to \mathbb R^2$满足
\[\phi^\boldsymbol B(t,h(X_0)) = h(\phi^\boldsymbol A(t,X_0)).\]
同胚$h$称为一个共轭。因而共轭将$\boldsymbol X' = \boldsymbol {AX}$的解曲线带到$\boldsymbol X' = \boldsymbol {BX}$的解曲线。
例 对于两个一维系统
\[x' = \lambda_1x \;\;\; \text 和 \;\;\; x'=\lambda_2x,\]
它们的流分别为
\[\phi^j(t,x_0) = x_0e^{\lambda_jt},\]
$j = 1,2$。假设$\lambda_1$和$\lambda_2$都是非零的并且有相同的符号。令
\[h(x) = \left\{ \begin{array}{l}{x^{{\lambda _2}/{\lambda _1}}}&\text{if}\;\;\; x \ge 0{}\\ - {\left| x \right|^{{\lambda _2}/{\lambda _1}}}& \text {if}\;\;\; x<0 \end{array} \right.\]
其中
\[{x^{{\lambda _2}/{\lambda _1}}} = \exp \left( {\frac{{{\lambda _2}}}{{{\lambda _1}}}\ln (x)} \right).\]
可见$h$为实直线的一个同胚。我们断言$h$是$x'=\lambda_1x$和$x'=\lambda_2x$之间的一个共轭。为此，我们验证如下：当$x_0>0$时，
\[h(\phi^1(t,x_0)) = (x_0e^{\lambda_1t})^{\lambda_2/\lambda_1} = x_0^{\lambda_2/\lambda_1}e^{\lambda_2t} = \phi^2(t,h(x_0)),\]
如所要证。当$x_0<0$时，可以以同样的计算验证。
这里需要注意几点。首先，$\lambda_1$和$\lambda_2$必须有相同的版本号。
这个例子给出了(自治)线性一阶微分方程的一种分类，这种分类与我们在第1章中的定性观察吻合。这里只有三个共轭类：汇点、源点和一个特殊的“中间情形”，$x'=0$，此时所有的解都是常数。
现在转到平面情形。首先我们看到，此时只须确定矩阵为标准型所对应系统之间的共轭，因为在第3章已经看到，存在线性映射$\boldsymbol T:\mathbb R^2 \to \mathbb R^2$将$\boldsymbol A$化为标准形，而此时$\boldsymbol T$将$\boldsymbol Y' = (\boldsymbol {T^{-1}AT})\boldsymbol Y$的流的时间$t$映射带到$\boldsymbol X' = \boldsymbol {AX}$的时间$t$映射。
我们将要进行的平面线性系统分类与一维情形是类似的。我们将不讨论系统的特征值实部为0的情形。
定义 一个矩阵$\boldsymbol A$称为双曲的，如果它的每一个特征值都具有非零实部。此时，我们也称系统$\boldsymbol X' = \boldsymbol {AX}$为双曲的。
定理 假设$2\times2$矩阵$\boldsymbol A_1$和$\boldsymbol A_2$都是双曲的，则线性系统$\boldsymbol X' = \boldsymbol {A_iX}$为共轭的当且仅当这两个矩阵具有负实部的特征值的数目相同。
因而两个双曲矩阵所对应的线性系统是共轭的当且仅当它们的特征值集合都在下面的同一类中：
(1)一个特征值为正而另一个为负；
(2)两个特征值都有负实部；
(3)两个特征值都有正实部；
(4)两个特征值都是正的或都是负的包含在(2)和(3)中。
在证明定理之前，我们要注意到这个定理蕴涵，具有螺线汇点的系统与具有(实)汇点的系统是实共轭的。这是当然的!因为它们的相同虽然看起来很不一样，但是要看到这两个系统的所有解在将来都是相同的：在$t \to \infty$时，它们都趋于原点。
证明 定理的必要性是显然的。下面我们证明定理的充分性。
由刚才的讨论，我们不妨假设所有的系统都是标准形。证明分为以下三种情形。
情形1
假设有两个线性系统$\boldsymbol X' = \boldsymbol {A_iX},i=1,2$，每个$\boldsymbol A_i$都有特征值$\lambda_i < 0 < \mu_i$。于是对每个系统，原点都是鞍点。这是容易的情形。前面已经看到，两个实微分方程$x'=\lambda_ix$的流之间可以用同胚
\[h_1(x) = \left\{ \begin{array}{l}{x^{{\lambda _2}/{\lambda _1}}}&\text{if}\;\;\; x \ge 0{}\\ - {\left| x \right|^{{\lambda _2}/{\lambda _1}}}& \text {if}\;\;\; x<0 \end{array} \right.\]
建立共轭。类似地，方程$y'=\mu_iy$的流之间可以用一个类似的函数$h_2$建立共轭。现在，定义
\[H(x,y) = (h_1(x),h_2(y)).\]
易见，$H$就是两个系统之间的一个共轭。
情形2
考虑系统$\boldsymbol X' = \boldsymbol {AX}$，其中$\boldsymbol A$为标准形，并且它的特征值的实部都是负的。进一步，我们假设矩阵$\boldsymbol A$不是下面的形式
\[\left( \begin{array}{l} \lambda&1\\0&\lambda\end{array}\right),\]
其中$\lambda<0$。从而$\boldsymbol A$为下面两个标准形之一：
\[(a)\left(\begin{array}{l}\alpha&\beta\\-\beta&\alpha\end{array}\right)\;\;\;\;(b)\left( \begin{array}{l}\lambda&0\\0&\mu\end{array}\right),\]
其中$\alpha,\lambda,\mu<0$。我们证明，在每一种情形，系统都与$\boldsymbol X' = \boldsymbol {BX}$共轭，其中
\[\boldsymbol B = \left( \begin{array}{l}-1&0\\0&-1\end{array}\right).\]
由此可得，任何这种形式的两个系统都是共轭的。
考虑平面上的单位圆，将它看成一条参数由曲线$X(\theta)=(\cos\theta,\sin\theta),0\le \theta \le 2\pi$，记此圆周为$S^1$。我们首先断言：上面形式的矩阵所确定的向量场一定是指向$S^1$的内部。在情形(a)，向量场在$S^1$上的表达式为
\[\boldsymbol {AX}(\theta) = \left( \begin{array}{l} \alpha \cos\theta + \beta\sin\theta\\-\beta\cos\theta + \alpha\sin\theta \end{array}\right).\]
而$S^1$在$X(\theta)$处指向外面的法向量为
\[\boldsymbol N(\theta) = \left( \begin{array}{l} \cos\theta\\\sin\theta \end{array}\right).\]
由于$\alpha<0$，这两个向量的点乘满足
\[\boldsymbol {AX}(\theta)\centerdot \boldsymbol N(\theta) = \alpha(\cos^2\theta + \sin^2\theta) <0.\]
这就说明了$\boldsymbol {AX}(\theta)$的确指向$S^1$的内部。情形(b)的验证更容易。
作为推论，我们有$\boldsymbol X' = \boldsymbol {AX}$的每个非零解正好穿过$S^1$一次。用$\phi_t^\boldsymbol A$记这个系统的时间$t$映射，而用$\tau = \tau(x,y)$记$\phi_t^\boldsymbol A(x,y)$到达$S^1$的时刻。于是有
\[\left| {\phi _{\tau (x,y)}^\boldsymbol A(x,y)} \right| = 1\]
记$\phi_t^\boldsymbol B)$为系统$\boldsymbol X' = \boldsymbol {BX}$的时间$t$映射，显然
\[{\phi _{\tau (x,y)}^\boldsymbol B(x,y)} = (e^{-t}x,e^{-t}y).\]
现在来定义两个系统之间的共轭$H$。如果$(x,y)\ne (0,0)$，令
\[H(x,y) = \phi _{ - \tau (x,y)}^\boldsymbol B\phi _{\tau (x,y)}^\boldsymbol A(x,y),\]
现令$H(0,0) = (0,0)$。几何上，$H(x,y)$的取值按正如下方式确定：先沿$\boldsymbol X' = \boldsymbol {AX}$的解曲线(向前或向后)走$\tau(x,y)$时间单位，直到解到达$S^1$上的某点，然后从该点出发，沿着$\boldsymbol X' = \boldsymbol {BX}$的解曲线反向走$\tau$时间单位到达的点就是$H(x,y)$，见图4.2。
可以看出，这个证明在特征值都是正实部时一样可行。
情形3
最后，假设
\[\boldsymbol A = \left( \begin{array}{l} \lambda&1\\0&\lambda \end{array}\right),\]
$\lambda<0$($\lambda>0$是什么情况呢？)。此时，对应的向量场不一定指向单位圆的内部。然而，如果令
\[\boldsymbol T = \left( \begin{array}{l} 1&0\\0&\epsilon \end{array}\right),\]
则只要$\epsilon$足够小，变换后的向量场
\[\boldsymbol Y' = (\boldsymbol {T^{-1}AT})\boldsymbol Y\]
的确是指向单位圆内部的。事实上，
\[\boldsymbol {T^{-1}AT} = \left( \begin{array}{l} \lambda&\epsilon\\0&\lambda \end{array} \right),\]
从而
\[\left( \boldsymbol {T^{-1}AT} \left( \begin{array}{l} \cos\theta \\ \sin\theta \end{array} \right) \right) \centerdot \left( \begin{array}{l}\cos\theta\\\sin\theta \end{array} \right) = \lambda + \epsilon\sin\theta\cos\theta,\]
因而如果选取$\epsilon<-\lambda$，则上面的点乘为负。这样，经过变量替换$T$之后，情形2的证明就可以适用了。定理由此得证。
