微分方程——包络和奇解

      对某些微分方程，存在一条(也可能多条)特殊的积分曲线，它并不属于方程的积分曲线族。但是，在这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和它在此点相切。在几何学上，这条特殊的积分曲线称为上述积分曲线族的包络。在微分方程里，这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的奇解。

      设单参数曲线族

\[\varPhi(x,y,c)=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3.23)\] 

其中$c$是参数，$\varPhi(x,y,c)$是$x,y,c$的连续可微函数。曲线族(3.23)的包络是指这样的曲线，它本身并不包含在曲线族(3.23)中，但过这曲线的每一点，有曲线族(3.23)中的一条曲线和它在这点相切。值得注意，一般的曲线族并不一定有包络，例如同心圆族，平行直线族都是没有包络的。

      微分方程的某一个解称为奇解，如果在这个解的每一点上至少还有方程的另外一个解存在，也就是说奇解是这样的一个解，在它上面的每一点唯一性都不成立。或者说，奇解对应的曲线上每一点至少有方程的两条积分曲线通过。总之，奇解——首先它本身是解，特别之处在于该解对应的积分曲线的每一点都不满足唯一性。

      从奇解的定义容易知道一阶微分方程的通解的包络(如果它存在的话)一定是奇解；反之，微分方程的奇解(若存在的话)也是微分方程的通解的包络。因而，为了求微分方程的奇解，可以先求出它的通解，然后求通解的包络。