高等代数第1讲——高等代数研究对象及学习方法
高等代数研究对象
- 高等代数研究的出发点是n元线性方程组，而解方程需要引入重要工具——矩阵，这是解法问题决定的。
- 如何判定解的情况呢？有解？无解？无穷解？唯一解？比如两条直接要么相交，有唯一的交点，要么平行，没有交点，要么重合，有无穷个交点，因此引入空间为判定方程组的解提供了直观解释，为此，对于n元线性方程组，有必要引入——n维向量空间，这是深入分析解的结构问题决定的，而n维向量空间可推广至一般线性空间。
- 由于线性空间只涉及向量加和数乘，为了研究向量之间的距离、夹角等度量关系，可以通过向量的内积来计算，将两个向量映射到实数域，这和关系是双线性函数。从而将一般线性空间推广到具有度量的线性空间。
- 空间到自身的变换称为线性变换。
- 线性代数是高等代数的主要部分，而线性空间和线性映射是线性代数的主线。
研究一元高次方程组的求解问题是经典代数学的中心问题，在此过程中，伽罗华创造性地引入了域和群的概念，明确指出了五次及更高次一般方程不存在根式求解方法，而且还给出了解存在性的充要条件。从此，代数学的研究内容发生了根本性变化，是谓近世代数，主要研究群、环、域的结构及其映射为中心。
数学的思维方式
