摘要：作者：Imaginary http://imaginary.farmostwood.net/559.html 到二十世纪末，人们对「信号」这个词的理解已经发生了微妙的变化。如果在二十世纪上半叶的时候提到一个信号，人们还倾向于将它理解为一个连续的函数。而到下半叶，信号已经越来越多地对应于一个离散的数组
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摘要：作者：Imaginary http://imaginary.farmostwood.net/557.html 不确定性原理事实上不是一个单独的定理，而是一组定理的统称。基本上，凡是刻划一个信号不能在时空域和频域上同时过于集中的命题都可以称为不确定性原理，由于这里「集中」这一性质可以有不同的数学描述，
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摘要：作者：imaginary http://imaginary.farmostwood.net/553.html 傅立叶变换这种对偶关系的本质，是把一块信息用彻底打乱的方式重新叙述一遍。正如前面所提到的那样，一个信号可能在空域上显得内容丰富，但是当它在频域上被重新表达出来的时候，往往就在大多数区域接近于
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摘要：作者：Imaginary http://imaginary.farmostwood.net/542.html 在现代数学中有一个很容易被外行误解的词汇：信号 (signal)。当数学家们说起「一个信号」的时候，他们脑海中想到的并不是交通指示灯所发出的闪烁光芒或者手机屏幕顶部的天线图案，而是一段可以具
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摘要：第8章 非线性系统的平衡点 为了为避免出现上一章遇到的一些技术性困难，从现在起，除非特别申明，总假设我们的微分方程为$C^\infty$的。这意味着，对所有的$k$，微分方程的右端都是$k$次连续可向的。这至少可以保证我们定理中的假设条件是最少的。 我们已经看到，写出非线性微分方程系统的显式解往往是不可能的。当我们有平衡解时则是一个例外。常常，对于一些特定的非线性系统，这些就是它们最重要的解。...
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摘要：第7章 非线性系统 在本章，我们开始研究非线性微分方程。对于系统(常系数)系统，我们总可以找到任一初值问题的显式解，对于非线性系统，这种情况相当少见。事实上，一些基本性质，例如解的存在唯一性，在线性情形下是显然的，而在非线性情形则不再成立。我们将看到，有些非线性系统甚至对任何初值问题都无解。另一方面，有些系统却有无穷多个不同解。而且即使找到这样系统的一个解，它也不一定对所有时刻有定义。例如，解有...
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摘要：第6章 高维线性系统 在线性代数领域稍作停留后，现在该回到微分方程了，特别地，要回到求解具有常系数的高维线性系统的任务中来。和线性代数那一章一样，我们要讨论大量的不同情形。 6.1 不同特征值 首先考虑线性系统$\boldsymbol X' = \boldsymbol {AX}$，其中$n \times n$矩阵$\boldsymbol A$具有$n$个不同的实特征值$\lambda_1,\...
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摘要：第5章 高维线性代数 与第2章一样，在试图求解高维线性微分方程系统之前，我们必须熟悉一下高维的线性代数。虽然在高维，矩阵的不同标准形个数变得多了，但在作坐标变换将矩阵化为标准形的过程中所用的代数思想大多都在$2\times 2$情形时出现过了。特别地，当矩阵具有不同(实的或复的)特征值时，除了增加很少的代数复杂性外，可以作类似处理，因而我们首先解决这种情形。在5.6节，我们会看到，这是一种“通有”情形。处理重特征值时需要用到更复杂的代数概念，相应的背景知识将在5.4节给出。5.1 线性代数预备知识 主要内容包括：线性无关、线性相关、标准基、子空间、初等变换(每一个初等变换矩阵都是可逆的，这是因
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摘要：第4章 平面系统的分类 在本章，我们将用一种动力系统的观点对迄今所得到的结论进行总结。这意味着我们将至少得到$2 \times 2$自治线性系统所有可能行为的一本完整字典。我们先通过迹-行列式平面以几何方式给出一种字典，另一种字典则要更具有动力系统味道，此时需要用到共轭系统的概念。 4.1 迹-行列式平面 对一个矩阵 \[\boldsymbol A = \left( \begin{array...
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摘要：第3章 平面系统的相图 有了上一章的线性叠加原理后，我们现在来计算任一平面系统的通解。粗看，似乎有无穷多不同的情形要讨论，但我们将看到，最简形式的几个例子就几乎涵盖了我们在高维情形将要遇到的所有解的类型。 3.1 不同实特征值 考虑系统$\boldsymbol X'=\boldsymbol {AX}$，假设$\boldsymbol A$有两个实特征值$\lambda_10$，位于$y$轴上解...
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摘要：第2章 平面线性系统 在本章我们开始研究微分方程组系统。形如 \[\pmb X’ = F(t, \boldsymbol X),\] 其中 \[F(t, \boldsymbol X) = \left( \begin{array}{l}{f_1}(t,{x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n})\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \vdots \\{f_n}(t,{x_1},...
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摘要：微分方程模型在模型分析中的主要问题之一是稳定性分析。 微分方程模型的稳定性及其实际意义 用微分方程方法建立的动态模型问题中的一个重要问题是：当时间充分长后 ，动态过程的变化趋势是什么？微分方程模型中，方程 ( 组 ) + 初始条件 → 解。初始条件的作用在于确定解, 它的微小变化会产生不同的解，换言之，对解的发展性态变化，往往具有影响作用。问题是这种对解的发展性态的影响作用是长期存在的，...
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摘要：对于实系数线性微分方程组 \[X' = AX: = \left\{ \begin{array}{l}{{x'}_1} = a{x_1} + b{x_2}\\{{x'}_2} = c{x_1} + d{x_2}\end{array} \right.\] 很显然，每一个微分方程都是两个自变量的函数，如果矩阵\(A\)有完备的特征向量（且不能有复特征值），即存在两个线性无关的特征向量\(\ove...
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摘要：http://www.bfcat.com/index.php/2012/03/svd-tutorial/ SVD分解（奇异值分解），本应是本科生就掌握的方法，然而却经常被忽视。实际上，SVD分解不但很直观，而且极其有用。SVD分解提供了一种方法将一个矩阵拆分成简单的，并且有意义的几块。它的几何解释可以看做将一个空间进行旋转，尺度拉伸，再旋转三步过程。 首先来看一个对角矩阵， 几何上, 我们将一个...
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摘要：http://blog.sina.com.cn/s/blog_536e0eaa0100jn7c.html 一般来说，方阵能描述任意线性变换。线性变换保留了直线和平行线，但原点没有移动。线性变换保留直线的同时，其他的几何性质如长度、角度、面积和体积可能被变换改变了。从非技术意义上说，线性变换可能“拉伸”坐标系，但不会“弯曲”或“卷折”坐标系。 矩阵是怎样变换向量的 向量在几何上能被解释成一系列与轴平...
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摘要：在很多不同的科学领域里面，对于运动或者变化的描述和建模，都具有非常根本性的地位——我个人认为，在计算机视觉里面，这也是非常重要的。 什么是“流”？ 在我接触过的各种数学体系中，对于运动和变化的描述，我感觉最为适合的有两种不同的perspective：流和变换群。前者以被作用的对象为中心，运动就是这个东西随时间变化的函数；后者以变换本身为中心，研究的是各种变换所组成的空间的代数和拓扑结构。我想，...
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摘要：对某些微分方程，存在一条(也可能多条)特殊的积分曲线，它并不属于方程的积分曲线族。但是，在这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和它在此点相切。在几何学上，这条特殊的积分曲线称为上述积分曲线族的包络。在微分方程里，这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的奇解。 设单参数曲线族 \[\varPhi(x,y,c)=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ...
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摘要：1.2 基本概念和常微分方程的发展史 自变量、未知函数均为实值的微分方程称为实值微分方程；未知函数取复值或变量及未知函数均取复值时称为复值微分方程。若无特别声明，以下均指实变量的实值微分方程。 1.2.1 常微分方程基本概念 (1) 常微分方程和偏微分方程 微分方程就是联系自变量 、未知函数及其的关系式。如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，则称这种微分方程为常微分方程；自变量的个数为两个...
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摘要：对于n个方程n元线性方程组，通过对其系数矩阵A的行列式的分析，有如下结论|A|=0，有唯一解。$ |A| \neq 0 $，无解或无穷多个解。 针对第二种情况，如何区分无解或无穷多解呢？如果方程的个数与未知量的个数不相等，又该如何判定呢？这些都是待解决的问题，如何解决呢？暂时放一边，先来看看方程组系数矩阵A的初等行变换所包括的运算——矩阵的某一行乘以非零系数加到另一行，其中包含了一个非零数乘以一个有序数组(多个数的意思，也就是后面即将定义的向量)、两个有序数组的加，如果把注意力暂时从系数矩阵本身移开，显然，在这里涉及运算及运算对象的问题，这似乎要触及数学的基石了——集合。有了集合的概念，...
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摘要：在上一讲中，两方程的二元一次方程组有没有唯一解可以用它的系数行列式来判别；有唯一解时，解可以用系数行列式以及用常数项替换其相应的列得到的行列式来表示。 对于n个方程的n元线性方程组有没有类似的结论呢？这需要有n阶行列式概念。在讨论之前，需要引入一些相关的概念。定义1 n个不同的自然数的一个全排列称为一个n元排列。例如，自然数1,2,3形成的3元排列有：123,132,213,231,312,321。给定n个不同的自然数，它们形成的全排列有n!个。因此，对于给定的n个不同的自然数，n元排列的总数是n!。 4元排列2341中，2与3形成的数对23，小的数在前，大的数在后，此时称这一对数构成...
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