高等代数第4讲——线性空间

　　对于n个方程n元线性方程组，通过对其系数矩阵A的行列式的分析，有如下结论

1. |A|=0，有唯一解。
2. $ |A| \neq 0 $，无解或无穷多个解。

　　针对第二种情况，如何区分无解或无穷多解呢？如果方程的个数与未知量的个数不相等，又该如何判定呢？这些都是待解决的问题，如何解决呢？暂时放一边，先来看看方程组系数矩阵A的初等行变换所包括的运算——矩阵的某一行乘以非零系数加到另一行，其中包含了一个非零数乘以一个有序数组(多个数的意思，也就是后面即将定义的向量)、两个有序数组的加，如果把注意力暂时从系数矩阵本身移开，显然，在这里涉及运算及运算对象的问题，这似乎要触及数学的基石了——集合。有了集合的概念，数学才可以明确研究的对象，但如果只有集合，觉得数学没有动感，因此有必要研究对象之间的关系，即我们要研究的是带有运算的集合，那么什么叫运算呢？可以利用映射的概念来定义代数运算，为此，先引入映射。

映射

　　映射与集合有着密切的关系，事实上，映射是两个集合中的一种特殊的对应关系，即如果按照某种对应法则，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素与它对应，那么这样的对应(包括对应法则)叫做集合A到集合B的映时。

　　设A、B是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对A中的每个元素a，按法则f，在B中有唯一确定的元素b与之对应，则称f为从A到B的映射，记作f：A→B。

 

以下内容见
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定义15.1 设A,B,C是非空集合，从A×B到C的一个映射（或函数）f：A×B→C称为一个A×B到C的二元代数运算（Binary Algebraic Operation），简称二元运算（Binary Operation）。

　　按此定义，一个二元代数就是一个特殊的映射。它对A中任意给定的元素a和B中任意给定的元素b，通过这种运算，就可以得到一个惟一的C中的元c。也可以说，所给定的代数运算能够对a和b进行运算，得到C中的一个元c。即是f(a,b) = c。既然f已经不再是一个一般意义的函数，我们可以用特殊的符号来表示f，如可以用“”来表示作为运算的f，以区别通常意义下的函数，那么f(a,b) = c就表示为(a,b) = c，使用中缀方法来表示即为ab = c。

例15.1 （1）设A是全体整数的集合，B为所有不等于零的整数集合，C为全体有理数集合，定义映射: A×B→C，其中，(a,b) = a÷b。按定义“”是A×B到C的运算，其中，ab = a÷b，也就是普通除法运算。

     （2）一架自动售货机，能接受一角和二角五分硬币，当人们投入上述硬币的任何两枚时，自动售货机供应出相应的商品（见表15-1）。

                                     表  15-1

	一角	二角五分
一角	桔子水	可口可乐
二角五分	可口可乐	冰淇淋

　　上述过程，我们可以用运算表示出来，设集合A = {一角，二角五}，集合C = {桔子水，可口可乐，冰淇淋}，则表15-1实质上是一个：A×A→C的映射，也就是A×A到C的一个运算。像这种使用表来给出运算，我们称这个表为运算表（Operation Table）（或乘法表（Multiplication Table））。

   在定义15.1中，之所以称f为二元运算，是因为f是一个二元函数，因此我们可以推广到一般的n元运算的情况。

定义15.2 设A₁,A₂,…,A_n，A是非空集合，A₁×A₂×…×A_n到A的一个映射（或函数）：A₁×A₂×…×A_n→A，称为一个A₁×A₂×…×A_n到A的n元代数运算（n-ary Algebraic Operation），简称n元运算（n-ary Operation）。当n = 1时，称为一元运算。

例15.2 （1）设Z是全体整数的集合，考虑映射：Z→Z，其中对Z中任意的元a，(a) = -a。

 由定义15.2知，是Z到Z的一元运算，它就是普通意义下的取相反数运算。

 （2）设Z是全体整数的集合，考虑映射：Z×Z→Z，对于Z中的任意两个数a和b，(a,b) = a+b，显然，是Z×Z到Z的二元运算，它也就是普通的加法运算，即ab = a+b。

（3）设M_n(R)是全体n×n实数矩阵的集合，考虑映射：M_n(R) ×M_n(R) →M_n(R)，对于任意实数矩阵A和B，(A,B) = A×B，A×B表示普通的矩阵乘法，则是M_n(R) ×M_n(R)到M_n(R)的二元运算，也就是普通的矩阵乘法运算，通常记为C = AB。

   对例15.2中的（2）、（3）和例15.1作比较可以发现，在例15.2中，它们都是形如A×A到A的运算，也就是说，对于例15.2中的（2）、（3）而言，定义5.1中的A、B、C是相等的。

   A×B到C这样的一般代数运算很少使用，最常用的运算是形如A×A到A的映射，即对A中的任意两个元素进行运算后，所得到的结果还是在A里面。我们称这种运算对集合A而言是封闭的，或称这样的运算为一个代数运算(丘维声如是说)。

 定义15.3 如果是一个A×A到A的代数运算，则称代数运算对集合A是封闭的（Closed），或者称是A上的代数运算。

  同样，我们可以把封闭性推广到n元运算的情形。

定义15.4 设是一个A₁×A₂×…×A_n到A的n元代数运算，如果A₁ = A₂ = … = A_n = A，则我们就称代数运算对集合A是封闭的（Closed），或者称是A上的n元代数运算。

   利用定义15.3考察例15.2中的所有运算都是封闭的，而例15.1中的运算不满足封闭性。

 例15.3 （1）普通加法运算对自然数集合是封闭的，因而它是自然数集合上的二元运算；普通减法运算关于自然数集合不封闭，因为两个自然数相减可能为负数，而负数不是自然数，因而它不是自然数集合上的二元运算。

   （2）算术加、减、乘法运算是整数集合、也是实数集合上的二元运算，但除法不是这些集合上的二元运算，因为除数为零无意义。

   （3）算术乘法和除法运算是非零实数集合上的二元运算，但加法和减法运算不是该集合上的二元运算，因为两个互为相反的数相加为零，而两个相同的数相减为零。

  （4）集合的交、并、差都是幂集上的二元运算，集合的补是幂集上的一元运算。

  （5）合取、析取、蕴涵和等价是命题公式集合上的二元运算，否定是命题公式集合上的一元运算。

  （6）设A为集合，设A^A为A上的所有函数，则函数的合成“”是A^A上的二元运算；设B是A上的所有双射函数，则函数的逆是B上的一元运算。

  （7）求两个实数i和j的极大值max(i,j)和极小值min(i,j)都是实数集合上的二元运算。

  代数运算除了用来表示外，以后也常用“～”、“*”、“+”、“-”、“∧”、“∨”、“∩”、“∪”等符号来表示运算。当用“+”、“-”表示代数运算时，它可能并不是普通意义下的加法和减法，其具体的意义应该根据上下文的环境来确定。

15.1.2  代数运算的性质

　　从定义15.3我们看出，一个集合A上的二元代数运算就是一个A×A到A的映射，从A×A到A的映射是相当任意的，只有那些满足特定规律和性质的运算才能计算出好的结果来。下面我们讨论运算的一些性质。

 

1．结合律

 定义15.5  设是一个A上的二元代数运算，如果对任意的a,b,c∈A，都有

 (ab)c = a(bc)

 则称在A上是可结合的（Associative），或称满足结合律（Associative Law）。

如果是一个A上的二元代数运算，由于只能是对A中的两个元进行运算，所以abc是没有意义的，但是由于对A满足封闭性，所以有

 ab∈A，bc∈A

 进而(ab)c与a(bc)都是有意义的运算结果。如果满足结合律，则

 (ab)c = a(bc)

 此时就可以定义

 abc = (ab)c = a(bc)

上面是三个元运算的情况。同样，当满足结合律时，对a₁a₂…a_n进行任意顺序的结合运算，其结果都相等，则我们可用a₁a₂…a_n表示计算结果。

通过以上的分析，我们既明白了结合律的重要性，又知道了当不满足结合律时，abc与a₁a₂…a_n都是没有意义的表达式，当满足结合律时，它们才有意义。

2．交换律

定义15.6  设是集合A上的二元运算，如果对任意的a,b∈A，都有

ab = ba

则称在A上是可交换的（Commutative），或称满足交换律（Commutative Law）。

从上面的定义可以看出，交换律只是说明了任意两个元进行运算是可以进行交换的，那么一个自然的问题是，当满足结合律时，a₁a₂…a_n是有意义的表达式。如果又满足交换律，那么表达式a₁a₂…a_n中的元是否可以任意的交换顺序呢？答案是肯定的，读者可以使用归纳法对此结果进行证明。

3．分配律

 定义15.7  设*和是集合A上的两个二元运算，如果对任意的a，b，c∈A，都有

                   a*(bc) = (a*b)(a*c)                                             （15-1）

                   (bc)*a = (b*a)(c*a)                                             （15-2）

 则称*对是可分配的（Distributive），或称*对满足分配律（Distributive Law）。若只有式（15-1）或式（15-2）成立，这时我们也分别称*对是左可分配的（Left Distributive）（又称第一分配律）或右可分配的（Right Distributive）（又称第二分配律）。

 类似前面的讨论，如果*对满足第一分配律，且满足结合律，则对A中任意的元a，b₁，b₂，…b_n，反复使用第一分配律，可以得到下面的等式：

 a*( b₁b₂…b_n) = (a*b₁)(a*b₂)…(a*b_n)

 从定义可以看出，分配律在于揭示两个运算之间的联系，而交换律与结合律是说明某个运算的性质。

 例15.4 （1）整数集合Z上的普通加法和普通乘法运算，显然普通加法和乘法满足结合律和交换律，其乘法对加法满足分配律。

 （2）设M_n(R)是全体n×n实数矩阵的集合，定义其上的关于矩阵的加法与矩阵乘法运算，其矩阵的加法与乘法运算满足结合律，加法满足交换律，其乘法对加法满足分配律。而矩阵乘法不满足交换律。

4．幂等律

定义15.8  设是定义在集合A上的二元运算，若元素a∈A，满足aa = a，则称a是A中关于的一个等幂元（Idempotent Element），简称a为等幂元。若A中的每一个元素都是幂等元，则称在A中是幂等的（Idempotent），或称满足幂等律（Idempotent Law）。

 如果是集合A上的二元运算，a是A中的一个元，则aa∈A，aaa∈A，由此，我们可以归纳定义a的正整数幂（Power）：

 a¹= a，a²= aa，a³ =  a²a，…aⁿ = a^n-1a，…

 因此对任意的正整数n，我们可以得到aⁿ，称它为a的n次幂方。

 在定义15.8中，如果a是幂等元，即a²= a。很显然，由a²= a，我们可以得到对任意的正整数n，都有aⁿ = a，所以我们称满足等式a²= a的元为等幂元。

5．消去律

定义15.9  设是定义在集合A上的二元运算，元素a∈A，使得对任意x,y∈A，都有

（1）若ax = ay，则x = y

 （2）若xa = ya，则x = y

 则称a在A中关于是可消去的（Cancellative），或称a是可消去元（Cancellative Element）。仅满足（1）、（2）的元素a分别称为左可消去元（Left Cancellative Element）和右可消去元（Right Cancellative Element）。若A中所有元素都是可消去元，则称在A上是可消去的，或称满足消去律（Cancellative Law）。

6．吸收律

定义15.10  设*和是集合A上的两个二元运算，如果对任意的x,y∈A，都有

x*(xy) = x

x(x*y) = x

则称*和满足吸收律（Absorption Law）。

例15.5 设S是一个集合，定义幂集r(S)上的关于集合的∩，∪运算，则

（1）对任意X，Y，Z∈r (S)，由集合运算的性质可知：

 (X∩Y)∩Z = X∩(Y∩Z)

 (X∪Y)∪Z = X∪(Y∪Z)

 由结合律的定义，我们知道∩，∪运算都满足结合律。

 （2）对任意X，Y∈r (S)，有

 X∩Y = Y∩X

 X∪Y = Y∪X

 由交换律的定义，可知∩，∪运算都满足交换律。

 （3）对任意X，Y，Z∈r (S)，有

 X∩(Y∪Z) = (X∩Y)∪(X∩Z)

 (Y∪Z)∩X = (Y∩X)∪(Z∩X)

则∩对∪满足分配律，同理可证∪对∩也满足分配律。

 （4）对任意X∈r (S)，有

 X∩X = X，X∪X = X

 所以，∩，∪在r(S)上满足幂等律。

 （5）对任意X，Y∈r (S)，有

 X∩(X∪Y) = X

 X∪(X∩Y) = X

 所以，∩，∪在r (S)上满足吸收律。

 （6）对任意X，Y∈r (S)，显然S∈p (S)，有：

 如S∩X = S∩Y，则X = Y，所以，全集S为r (S)上关于∩的左可消去元；

 如X∩S = Y∩S，则X = Y，所以，全集S为r (S)上关于∩的右可消去元。

 由于全集“S”既是r (S)的左可消去元，又是r (S)的右可消去元，所以，全集“S”是r (S)关于∩的可消去元。但当S不为空集时，∩在r (S)并不满足消去律，因为F不是关于∩的可消去元。

 （7）对任意X,Y∈p(S)，显然F∈p(S)，有：

 如F∪X =F∪Y，则X = Y，所以，空集F为r (S)上关于∪的左可消去元；

 如X∪F= Y∪F，则X = Y，所以，空集F为r (S)上关于∪的右可消去元。

 由于空集F既是r(S)的左可消去元，又是r (S)的右可消去元，所以，空集F是r(S)关于∪的可消去元。但当S不为空集时，∪在r(S)并不满足消去律，因为S不是关于∩的可消去元。

以上内容见：
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n维向量空间 $ K^n $

　　取定一个数域K，设n是任意给定的一个正整数。令

$ K^n := {(a_1, a_2, \cdots,a_n) | a_i \in K, i = 1,2, \cdots, n} $

　　在 $K^n$中规定加法运算如下：

　　$ (a_1,a_2, \cdots , a_n) + (b_1,b_2, \cdots , b_n) :=(a_1+b_1,a_2+b_2, \cdots , a_n+b_n) $

　　在 $ K $中的元素与 $K^n$的元素之间规定数量乘法运算如下：

$ k(a_1,a_2, \cdots, a_n) := (ka_1,ka_2, \cdots, ka_n)$

　　容易直接验证加法和数量乘法满足下述8条运算法则：对于任意 $ \alpha, \beta, \gamma \in K^n $，任意的 $ k,l \in K $，有

 　　定义1 数域 $K$上所有$n$元有序数组组成的集合$K^n$，连同定义在它上面的加法运算和数量乘法运算及其满足的8条运算法则一起，称为数域$K$上的一个$n$维向量空间。$K^n$的元素称为$n$维向量。