高等代数第3讲——n阶行列式
在上一讲中，两方程的二元一次方程组有没有唯一解可以用它的系数行列式来判别；有唯一解时，解可以用系数行列式以及用常数项替换其相应的列得到的行列式来表示。
对于n个方程的n元线性方程组有没有类似的结论呢？这需要有n阶行列式概念。在讨论之前，需要引入一些相关的概念。
定义1 n个不同的自然数的一个全排列称为一个n元排列。
例如，自然数1,2,3形成的3元排列有：123,132,213,231,312,321。给定n个不同的自然数，它们形成的全排列有n!个。因此，对于给定的n个不同的自然数，n元排列的总数是n!。
4元排列2341中，2与3形成的数对23，小的数在前，大的数在后，此时称这一对数构成一个顺序；而2与1形成的数对21，大的数在前，小的数在后，此时称这一对数构成一个逆序。排列2341中，构成逆序的数对有21,31,41,共3对，此时我们称排列2341的逆序数是3，记作 $\tau (2341)=3 $。
逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。
把排列2341的3和1互换位置，其余数不动，便得到排列2143。像这样的变换称为一个对换，记作(3,1)。对换的概念也适用于n元排列。
定理1 对换改变n元排列的奇偶性。
定理2 任一n元排列与排列123…n可以经过一系列对换互变，并且所作对换的次数与这个n元排列有相同的奇偶性。
n阶行列式的定义
定义1 n阶行列式
是n!项的代数和，其中每一项都是位于不同行、不同列的n个元素的乘积，把这个n个元素按照行指标自然序排好位置，当列指标所成排列是偶排列时该项带正号；奇排列时，该项带负号即 
上式称为行列式的完全展开。特别地，n阶行列式|A|的每一项可以按列指标成自然序排好位置，这时用行指标所成排列的奇偶性来决定该项前面所带的符号，即
$ \left| A \right| = \sum\limits_{{i_1}{i_2} \cdots {i_n}} {{{( - 1)}^{\tau ({i_1}{i_2} \cdots {i_n})}}{a_{{i_1}1}}} {a_{{i_2}2}} \cdots {a_{{i_n}n}} $
上式表明，行列式中行与列的地位是对称的。
行列式的性质
从行列式的定义知道，n阶行列式是n!项的代数和，其中每一项是位于不同行、不同列的n个元素的乘积。当n增大时，n!迅速增大。如果直接用行列式的定义计算一个n阶行列式，其计算量相当大。因此有必要研究行列式的性质，利用行列式的性质来简化行列式的计算，并且利用行列式的性质来研究线性方程组有唯一解的条件。
性质1 行列互换，行列式的值不变。即
性质2 行列式一行的公因子可以提出去。即
性质3 行列式中若有某一行是两组数的和，则此行列式等于两个行列式的和，这两个行列式的这一行分别是第一组数和第二组数，而其余各行与原来行列式的相应行相同。即
性质4 两行互换，行列式反号。即
性质5 两行相同，行列式的值为0。即
性质6 两行成比例，行列式的值为0。即
性质7 把一行的倍数加到另一行上，行列式的值不变。即
评注：
[1]n阶矩阵A的行列与其转置矩阵的行列式相等，即|A|=|A'|；
[2]行列式的性质2至性质7是对于行来叙述的，根据行列式的性质1，容易推出它们对于列也成立；
[3]利用行列式的性质7、性质4、性质2，可以把一个行列式化成上三角形行列式的非零数倍。而上三角形行列式的值就等于它的主对角线上所有元素的乘积。因此把行列式化成上三角形行列式，是计算行列式的基本方法(类似于方程组的增广矩阵化成阶梯形矩阵一样)。
行列式按一行(列)展开
定义1 n阶行列式|A|中，划去第i行和第j列，剩下的元素按原来次序组成的n-1阶行列式称为A的(i,j)元的余子式，记作 $ M_{ij} $。令
$ {A_{ij}} = {\left( { - 1} \right)^{i + j}}{M_{ij}} $
称 $A_{ij} $是A的(i,j)元的代数余子式。
定理1 n阶行列式|A|等于它的第i行元素与自己的代数余子式的乘积之和。即
$ \left| A \right| = {a_{i1}}{A_{i1}} + {a_{i2}}{A_{i2}} + \cdots + {a_{in}}{A_{in}} = \sum\limits_{j = 1}^n {{a_{ij}}{A_{ij}}} $
上式称为n阶行列式按第i行的展开式。
定理2 n阶行列式|A|等于它的第j列元素与自己的代数余子式的乘积之和。即
$ \left| A \right| = {a_{1j}}{A_{1j}} + {a_{2j}}{A_{2j}} + \cdots + {a_{nj}}{A_{nj}} = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_{ij}}{A_{ij}}} $
上式称为行列式按第j列的展开式。
无论数学，还是其它学科，将问题简单化、一般化是极其重要的方法。利用行列式的性质7等可以把行列式的某一行（或某一列)的许多元素变成0，然后按这一行(或这一列)展开，就可以把n阶行列式化为n-1阶行列式，减少计算量。这是计算行列式的又一个基本方法。
定理3 n阶行列式|A|的第i行元素与第k行( $k \neq i $)相应元素的代数余子式的乘积之和等于零。即
$ \sum\limits_{j = 1}^n {{a_{ij}}{A_{kj}} = 0} $，当 $k \neq i$
定理1至定理3对于列同样成立。
数域K上n个方程的n元线性方程组解的情况
增广矩阵 $\tilde A$ 初等行变换 --> $\tilde J$(阶梯形)
系数矩阵 $ A $ 上述初等行变换--> $ J $(阶梯形)
方程组无解 ===> $\tilde J$有非零行(0,...,0,d) ===> $ J $有零行 ===> $ |J| = 0 $；
方程组有且有无穷个解 ===> $\tilde J$ 的非零行数目r < n ===> $\tilde J$ 有零行 ===> $ J $有零行 ===> $ |J|=0 $；
方程组有唯一解 ===> $\tilde J$ 的非零行数目r = n ===> $\tilde J$ 有n个非零行 ===> $ J $有n个非零行 ===> $ J $有n个主元 ===>
其中主元 $ c_{ii} $都不为零 ===> $ |J| = c_{11}c_{22} \cdots c_{nn} \neq 0 $ 。
因此，方程有唯一解 <===> $ |J| \neq 0 $
根据初等行变换和行列式的性质可知有 $ |J| = l|A| $，其中 $ l \neq 0 $。
因此 $ |J| \neq 0 $ <===> $ |A| \neq 0 $。
综上所述：数域K上n个方程的n元线性方程组有唯一解的充分必要条件是它的系统矩阵A的行列式 $ |A| \neq 0 $。
推论1 数域K上n个方程的n元齐次线性方程组只有零解 <===> 它的系数矩阵A的行列式 $ |A| \neq 0 $；
有非零解 <===> 它的系数矩阵A的行列式 $ |A| = 0 $。
关于面积：一种映射
大家会说，面积，不就是长乘以宽么，其实不然。我们首先明确，这里所讨论的面积，是欧几里得空间几何面积的基本单位：平行四边形的面积。平行四边形面积的定义，几何上说是相邻两边边长乘以他们之间的夹角的正弦。
然而为了应对更一般情形和更高维度的数理问题，我们有必要把面积的定义推广开来。注意到以下事实：
面积是一个标量，它来自于（构成其相邻边）两个矢量。因此，我们可以将面积看成一个映射：
其中V就是一个矢量，V*V代表两个矢量的有序对；f就是面积的值。
下面我们将说明这个映射是一个线性映射。
从最简单的例子出发。如果第一个矢量是（1，0），第二个矢量是（0，1）；也就是说，两个矢量分别是X和Y轴上的单位正向量，那么由这两个矢量张成的四边形就是一个正方形，其面积根据定义，就是长乘以宽=1*1=1。
因此有：
如果我们把第一个矢量”缩放“a倍，面积将会相应是原来的a倍；把第二个矢量“缩放”b倍，面积也会成为原来的b倍。如果同时缩放，很显然，面积将会变成原面积的ab倍。这表明，面积映射对于其两个操作数（矢量）的标量积是各自线性的，如下：
最后，我们要说明，面积映射对于其操作数（矢量）的矢量加法也是线性的。因为矢量加法操作的本身是线性的，那么其面积映射理应对此也是一个线性映射。这里我们打算从几个实际的例子出发，说明映射的加法线性性的后果。
显然（两个共线矢量所张成的平行四边形还是一条线，因此面积为0）：
假定面积映射是一个关于矢量加法的线性映射，那么我们有：
注意计算过程中用到了上面的结论。这说明：
也就是说，交换相互垂直操作数矢量的顺序，面积映射取负。孰正孰负取决于认为的定义。一般，我们把X轴单位矢量在前，Y轴单位矢量在后，从X轴到Y轴张成的一个平行四边形的面积，取做正号。
右手定则
由此我们引入右手定则。注意右手定则只在三维空间中有效。如果以X正方向为首，Y正方向为尾，右手定则告诉我们，纸面向外是面积的正方向；如果反过来，那么纸面向内就是该面积的正方向，与规定的正方向相反，取负号。那么面积正负号的几何意义就明显了。
由此，我们不难得到平面内任意两个矢量所张成的平行四边形的面积（*）：
我们不难看到，所谓面积就是一个2X2矩阵的行列式：
如下图。
其中第一行就是我们的第一个行向量(a,b)；第二行就是第二个行向量(c,d)。或者第一列是第一个列向量(a,b)^T, 第二列是第二个列向量(c,d)^T。这取决于我们把矢量写成行向量（前者）还是列向量（后者）的形式。
行列式的计算性质
由此我们很容易能发现，行列式的值与把矢量写成列向量横排还是行向量竖排的方式是无关的。这也就是为什么说，在计算行列式时，行和列的地位是对等的。并且注意到，由上述分析，交换矢量的顺序，面积的值取负号，这也就是为什么行列式中，交换列向量或者行向量一次，就要取一次负号的原因。另外，行列式的其他计算性质，都一一反映在面积映射的线性性之中。
由此我们可见，行列式就是关于“面积”的推广。他就是在给定一组基下，N个向量张成的一个N维广义四边形的体积。这就是行列式的本质含义。
行列式的推广
由上，我们可以轻松推广到三维体积的计算：
注意到，行列式的定义，是每一行各取一个不同列的元素的乘积并且符号和所谓的逆序性有关（PARITY）。所谓逆序性，其几何意义就是在规定了一个正方向之后（比如从1,2,3,4,5...N这个顺序定义为正号），交换任意一对数都取一次负号。这样的性质我们在上述的面积函数中已经有所看到，实际上体积，更高维度的广义体积，也有正方向之说，只不过已经难以用右手法则（以及叉乘）来形象说明罢了。右手定则的局限性也是将高维面积推广成行列式表达的一个动机之一。
对于这种交换任何一对指标（操作数）就改变符号的性质，我们叫做：反对称（ANTISYMMETRIC）性。之所以要取不同行不同列元素的乘积，是因为如果有任意两个元素是同行（列）的，那么交换他们的列指标，乘积不变但符号要相反，这乘积必须是0，也就是在行列式的值中不予体现。
行列式的定义之所以这么冗杂，就是来自于面积映射的反对称性。实际上面积映射是一个2-FORM，把2-FORM拓展到任意的R-FORM，我们能看到R-FORM的形式和一个R乘R矩阵的行列式是完全一致的。
由上我们已经可以看到，2-FORM代表的是平面内的面积；3-FORM自然而然就是3维空间内的体积；4-FORM是4维空间里的超体积。以此类推。而实际上，由上我们已经看到，将这些矢量在给定的基坐标下写成矩阵（必定是方阵），矩阵的行列式就是对应的面积（体积）。
