「背包DP」合唱队形

本题为3月16日23上半学期集训每日一题中A题的题解

题面

题目描述

金明今天很开心，家里购置的新房就要领钥匙了，新房里有一间他自己专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过N元钱就行”。今天一早金明就开始做预算，但是他想买的东西太多了，肯定会超过妈妈限定的N元。于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为5等：用整数1−5表示，第5等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是整数元）。他希望在不超过N元（可以等于N元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。

设第j件物品的价格为 \(v_j\) ，重要度为 \(w_j\) ，共选中了k件物品，编号依次为 \(j_1,j_2,\cdots,j_k\) ，则所求的总和为:\(v_{j_1} \times w_{j_1} + v_{j_2} \times w_{j_2} + \cdots + v_{j_k} \times w_{j_k}\).

请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。

输入

第一行，为2个正整数，用一个空格隔开：N m（其中N (<30000)表示总钱数，m(<25)为希望购买物品的个数。）

从第2行到第m+1行，第j行给出了编号为j-1的物品的基本数据，每行有2个非负整数v p（其中v表示该物品的价格( \(v \leq 10000\) )，p表示该物品的重要度(1−5).

输出

1个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值(<100000000)。

样例输入

1000 5
800 2
400 5
300 5
400 3
200 2

样例输出

3900

思路分析

本题就是一个最基础的01背包的模型,只是此处每个商品的价值被定义为它的 \(价格 \times 优先级\) 而已,所以直接套用01背包的板子即可.

此处 $ N \times m < 750000$ ,故无需进行空间压缩,使用普通的01背包板子即可.当然你想空间压缩也是可行的.

如果你还不会01背包,请先阅读背包九讲(如果打不开github也可以在集训队的群文件中搜索),或者这篇博客(可能需要一点魔法才能访问)进行学习,当然也可自行搜索博客等学习.在ACWing上有公开的01背包的板子题,请尝试独立通过此题,然后再来做这道题.

参考代码

时间复杂度: \(O(NM)\)

空间复杂度: \(O(NM)\)

#pragma GCC optimize(1)
#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3, "Ofast", "inline")
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

using i64 = long long;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    cout.tie(nullptr);

    int n, m;
    cin >> n >> m;

    int *v = new int[m + 1]; // 价格
    int *p = new int[m + 1]; // 优先级
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        cin >> v[i] >> p[i];
    }

    // 背包DP模板
    vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1));
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        for (int j = 0; j <= n; j++) {
            if (j - v[i] >= 0) {
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - v[i]] + v[i] * p[i]); // 此题中每个商品的价值是它的价格乘优先级
            } else {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            }
        }
    }

    cout << dp[m][n] << "\n";

    return 0;
}

"正是我们每天反复做的事情，最终造就了我们，优秀不是一种行为，而是一种习惯" ---亚里士多德