「贪心&优先队列」数列极差

本题为1月3日22寒假集训每日一题题解

题目来源:(未知)

题面

题目描述

佳佳的老师在黑板上写了一个由n个正整数组成的数列，要求佳佳进行如下操作：每次擦去其中的两个数a和b，然后在数列中加入一个数 $ a * b + 1 $ ，如此下去直至黑板上剩下一个数为止，在所有按这种操作方式最后得到的数中，最大的为max，最小的为 min， 则该数列的极差定义为$ M=max−min $。

由于佳佳忙于准备期末考试，现请你帮助他，对于给定的数列，计算出相应的极差M。

输入

第一行为一个正整数n表示正整数序列的长度；

在接下来的n行中，每行输入一个正整数。

接下来的一行有一个0，表示数据结束。

输出

输出只有一行，为相应的极差d。

样例输入

3
1
2
3
0

样例输出

2

提示

对于全部数据，0≤n≤50000，保证所有数据计算均在32位有符号整数范围内。

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思路分析

首先观察3个数的情况,若有 $ a > b > c $,我们先后取出不同的数进行运算,情况如下:

1. $ (a \times b + 1) \times c + 1 = a \times b \times c + c + 1 $
2. $ (a \times c + 1) \times b + 1 = a \times b \times c + b + 1 $
3. $ (b \times c + 1) \times a + 1 = a \times b \times c + a + 1 $

简单观察可以发现,最后取得的数的共同部分是 $ a \times b \times c $ ,以及最后的 $ + 1 $ ,不同的地方只有中间那一项,可以发现如下规律:

• 如果先取最小两项,那么中间那一项(这一项同时也是最晚乘进去的数)就是最大项,此时结果也是最大的
• 如果先取最大两项,那么中间那一项(这一项同时也是最晚乘进去的数)就是最小项,此时结果也是最小的

那如果是n个数呢?显然最后取出的数的组合会和上面一样,最前和最后都是相同的(所有数相乘和1),只有中间那一些不同.所以想要答案最大,就需要中间最大.显然,越后面选的数会在其中作为乘数出现更多次(位于更外层的括号,更晚乘进去),所以想要答案最大,就要每次都选最小的两个数,以让越大的数越晚选.答案最小同理,只需每次都选最大的两个数.

这就是本题的贪心策略,只要按照这个策略分别计算出最大值和最小值,然后再做差即可.由于每次都要取出当前的最小/大值,然后把计算好的结果再加入,所以我们需要借助优先队列这一数据结构(当然,每次计算后再排序也可以,但是这样效率会低一点).

参考代码

#pragma GCC optimize(1)
#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3, "Ofast", "inline")

#include <iostream>
#include <queue>

using namespace std;

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);

    int n;
    cin >> n;

    if (n <= 1) // 1个数时下面的代码不适用,不过此时极差显然为0,所以直接输出即可
    {
        cout << 0 << "\n";
        return 0;
    }

    // 两个优先队列,分别用于计算最大值(每次取出最小值,使用小顶堆)和最小值(每次取出最大值,使用大顶堆)
    priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> queToCountMax;
    priority_queue<int> queToCountMin;

    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        int num;
        cin >> num;
        queToCountMin.push(num);
        queToCountMax.push(num);
    }

    // 最大值和最小值
    int maxNum, minNum;

    // 计算最大值,每次取出两个数,然后把计算结果再插入回去
    while (queToCountMax.size() > 1)
    {
        int num = queToCountMax.top();
        queToCountMax.pop();
        num = num * queToCountMax.top() + 1;
        queToCountMax.pop();
        queToCountMax.push(num);
    }
    maxNum = queToCountMax.top();

    // 计算最小值,每次取出两个数,然后把计算结果再插入回去
    while (queToCountMin.size() > 1)
    {
        int num = queToCountMin.top();
        queToCountMin.pop();
        num = num * queToCountMin.top() + 1;
        queToCountMin.pop();
        queToCountMin.push(num);
    }
    minNum = queToCountMin.top();

    cout << maxNum - minNum << "\n";

    return 0;
}

"正是我们每天反复做的事情，最终造就了我们，优秀不是一种行为，而是一种习惯" ---亚里士多德