「动态规划」香槟塔(力扣第799题)

本题为11月20日力扣每日一题

题目来源:力扣第799题

题目tag:动态规划 模拟

题面

题目描述

我们把玻璃杯摆成金字塔的形状，其中第一层有1个玻璃杯，第二层有2个，依次类推到第100层，每个玻璃杯(250ml)将盛有香槟。

从顶层的第一个玻璃杯开始倾倒一些香槟，当顶层的杯子满了，任何溢出的香槟都会立刻等流量的流向左右两侧的玻璃杯。当左右两边的杯子也满了，就会等流量的流向它们左右两边的杯子，依次类推。（当最底层的玻璃杯满了，香槟会流到地板上）

例如，在倾倒一杯香槟后，最顶层的玻璃杯满了。倾倒了两杯香槟后，第二层的两个玻璃杯各自盛放一半的香槟。在倒三杯香槟后，第二层的香槟满了 - 此时总共有三个满的玻璃杯。在倒第四杯后，第三层中间的玻璃杯盛放了一半的香槟，他两边的玻璃杯各自盛放了四分之一的香槟，如下图所示。

现在当倾倒了非负整数杯香槟后，返回第i行j个玻璃杯所盛放的香槟占玻璃杯容积的比例（i和j都从0开始）。

示例

示例 1

输入:

poured(倾倒香槟总杯数) = 1, query_glass(杯子的位置数) = 1, query_row(行数) = 1

输出:

0.00000

解释:

我们在顶层（下标是（0，0））倒了一杯香槟后，没有溢出，因此所有在顶层以下的玻璃杯都是空的。

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示例 2

输入:

poured(倾倒香槟总杯数) = 2, query_glass(杯子的位置数) = 1, query_row(行数) = 1

输出:

0.50000

解释:

我们在顶层（下标是（0，0）倒了两杯香槟后，有一杯量的香槟将从顶层溢出，位于（1，0）的玻璃杯和（1，1）的玻璃杯平分了这一杯香槟，所以每个玻璃杯有一半的香槟。

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示例 3

输入:

poured = 100000009, query_row = 33, query_glass = 17

输出:

1.00000

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提示

0 <= poured <= 109
0 <= query_glass <= query_row < 100

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思路分析

这题的tag标的是动态规划,其实直接进行模拟也可.

我们完全可以假设一开始所有香槟都倒到了最顶上的杯子上,然后我们挨个处理每个杯子,把溢出的香槟分别倒到下面的两个杯子中,最后看看目标杯子里有多少香槟即可.

如果一定要从动态规划的角度来理解的话,我们可以把每一个杯子都看成是一个小"杯子三角形"最顶上的杯子.每次溢出的香槟,可以看成是往其下面的两个小"杯子三角形"倒的香槟.根据这个思路可以写出一个递归形式的代码.显然可以直接借助一个数组代替这个递归,改成迭代形式,这时的代码与直接模拟写出来的代码是一致的.

参考代码

class Solution
{
public:
    double champagneTower(int poured, int query_row, int query_glass)
    {
        vector<vector<double>> glasses(100, vector<double>(100, 0));
        glasses[0][0] = poured; // 初始状态,把香槟全部倒进第一个杯子
        for (int i = 0; i < query_row; i++) // 模拟到目标行就好了
        {
            for (int j = 0; j <= i; j++)
            {
                if (glasses[i][j] >= 1)
                {
                    if (i + 1 < 100) // 如果底下还有一层杯子
                    {
                        glasses[i + 1][j] += (glasses[i][j] - 1) / 2.0;     // 溢出的一半到下一个杯子
                        glasses[i + 1][j + 1] += (glasses[i][j] - 1) / 2.0; // 溢出的一半到下一个杯子
                    }
                    glasses[i][j] = 1; // 溢出剩下就是满(底下没有杯子时溢出的在地板上)
                }
            }
        }
        return glasses[query_row][query_glass] >= 1 ? 1 : glasses[query_row][query_glass]; // 如果溢出就是满,否则多少就是多少
    }
};

"正是我们每天反复做的事情，最终造就了我们，优秀不是一种行为，而是一种习惯" ---亚里士多德