高斯消元求解方程组(模板)

  1 #include <iostream>
  2 #include <string>
  3 #include <cmath>
  4 using namespace std;
  5 
  6 const int maxn = 105;
  7 
  8 int equ, var; // 有equ个方程,var个变元。增广阵行数为equ, 分别为0到equ - 1,列数为var + 1,分别为0到var.
  9 int a[maxn][maxn];
 10 int x[maxn]; // 解集.
 11 bool free_x[maxn]; // 判断是否是不确定的变元.
 12 int free_num;
 13 
 14 inline int gcd(int a, int b){
 15     return b ? gcd(b, a % b) : a;
 16 }
 17 
 18 inline int lcm(int a, int b){
 19     return a * b / gcd(a, b);
 20 }
 21 
 22 // 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解,但无整数解,-1表示无解,0表示唯一解,大于0表示无穷解,并返回自由变元的个数)
 23 int Gauss(void){
 24     int i, j, k;
 25     int max_r; // 当前这列绝对值最大的行.
 26     int col; // 当前处理的列.
 27     int ta, tb;
 28     int LCM;
 29     int temp;
 30     int free_x_num;
 31     int free_index;
 32     // 转换为阶梯阵.
 33     col = 0; // 当前处理的列.
 34     for (k = 0; k < equ && col < var; k++, col++){
 35          // 枚举当前处理的行.
 36         // 找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换.(为了在除法时减小误差)
 37         max_r = k;
 38         for (i = k + 1; i < equ; i++){
 39             if (abs(a[i][col]) > abs(a[max_r][col])) max_r = i;
 40         }
 41         if (a[max_r][col] == 0){
 42             // 说明该col列第k行以下全是0了,则处理当前行的下一列.
 43             k--;
 44             continue;
 45         }
 46         if (max_r != k){
 47             // 与第k行交换.
 48             for (j = col; j < var + 1; j++) swap(a[k][j], a[max_r][j]);
 49         }
 50         for (i = k + 1; i < equ; i++){
 51              // 枚举要删去的行.
 52             if (a[i][col] != 0){
 53 
 54                 LCM = lcm(abs(a[i][col]), abs(a[k][col]));
 55                 ta = LCM / abs(a[i][col]), tb = LCM / abs(a[k][col]);
 56                 if (a[i][col] * a[k][col] < 0) tb = -tb; // 异号的情况是两个数相加.
 57 
 58                 for (j = col; j < var + 1; j++){
 59                     a[i][j] = a[i][j] * ta - a[k][j] * tb;
 60                 }
 61                 }
 62         }
 63     }
 64     // 1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0).
 65     for (i = k; i < equ; i++){
 66         // 对于无穷解来说,如果要判断哪些是自由变元,那么初等行变换中的交换就会影响,则要记录交换.
 67         if (a[i][col] != 0) return -1;
 68     }
 69     // 2. 无穷解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行,即说明没有形成严格的上三角阵.
 70     //且出现的行数即为自由变元的个数.
 71     if (k < var){
 72         // 首先,自由变元有var - k个,即不确定的变元至少有var - k个.
 73         for (i = k - 1; i >= 0; i--)
 74         {
 75             // 第i行一定不会是(0, 0, ..., 0)的情况,因为这样的行是在第k行到第equ行.
 76             // 同样,第i行一定不会是(0, 0, ..., a), a != 0的情况,这样的无解的.
 77             free_x_num = 0; // 用于判断该行中的不确定的变元的个数,如果超过1个,则无法求解,它们仍然为不确定的变元.
 78             for (j = 0; j < var; j++){
 79                 if (a[i][j] != 0 && free_x[j]) free_x_num++, free_index = j;
 80             }
 81             if (free_x_num > 1) continue; // 无法求解出确定的变元.
 82             // 说明就只有一个不确定的变元free_index,那么可以求解出该变元,且该变元是确定的.
 83             temp = a[i][var];
 84             for (j = 0; j < var; j++){
 85 
 86                 if (a[i][j] != 0 && j != free_index) temp -= a[i][j] * x[j];
 87             }
 88             x[free_index] = temp / a[i][free_index]; // 求出该变元.
 89             free_x[free_index] = 0; // 该变元是确定的.
 90         }
 91         return var - k; // 自由变元有var - k个.
 92     }
 93     // 3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵.
 94     // 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0.
 95     for (i = var - 1; i >= 0; i--){
 96         temp = a[i][var];
 97         for (j = i + 1; j < var; j++){
 98             if (a[i][j] != 0) temp -= a[i][j] * x[j];
 99         }
100         if (temp % a[i][i] != 0) return -2; // 说明有浮点数解,但无整数解.
101         x[i] = temp / a[i][i];
102     }
103     return 0;
104 }
105 
106 int main(void){
107     int i, j;
108     while (scanf("%d %d", &equ, &var) != EOF){
109         memset(a, 0, sizeof(a));
110           memset(x, 0, sizeof(x));
111           memset(free_x, 1, sizeof(free_x)); // 一开始全是不确定的变元.
112         for (i = 0; i < equ; i++){
113             for (j = 0; j < var + 1; j++){
114                 scanf("%d", &a[i][j]);
115             }
116         }
117         free_num = Gauss();
118         if (free_num == -1) printf("无解!\n");
119            else if (free_num == -2) printf("有浮点数解,无整数解!\n");
120         else if (free_num > 0){
121             printf("无穷多解! 自由变元个数为%d\n", free_num);
122             for (i = 0; i < var; i++){
123                 if (free_x[i]) printf("x%d 是不确定的\n", i + 1);
124                 else printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);
125             }
126         }else{
127             for (i = 0; i < var; i++){
128                 printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);
129             }
130         }
131         printf("\n");
132     }
133     return 0;
134 }

 

posted @ 2017-07-15 15:49  geloutingyu  阅读(376)  评论(0编辑  收藏  举报