高斯消元求解方程组(模板)
1 #include <iostream> 2 #include <string> 3 #include <cmath> 4 using namespace std; 5 6 const int maxn = 105; 7 8 int equ, var; // 有equ个方程,var个变元。增广阵行数为equ, 分别为0到equ - 1,列数为var + 1,分别为0到var. 9 int a[maxn][maxn]; 10 int x[maxn]; // 解集. 11 bool free_x[maxn]; // 判断是否是不确定的变元. 12 int free_num; 13 14 inline int gcd(int a, int b){ 15 return b ? gcd(b, a % b) : a; 16 } 17 18 inline int lcm(int a, int b){ 19 return a * b / gcd(a, b); 20 } 21 22 // 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解,但无整数解,-1表示无解,0表示唯一解,大于0表示无穷解,并返回自由变元的个数) 23 int Gauss(void){ 24 int i, j, k; 25 int max_r; // 当前这列绝对值最大的行. 26 int col; // 当前处理的列. 27 int ta, tb; 28 int LCM; 29 int temp; 30 int free_x_num; 31 int free_index; 32 // 转换为阶梯阵. 33 col = 0; // 当前处理的列. 34 for (k = 0; k < equ && col < var; k++, col++){ 35 // 枚举当前处理的行. 36 // 找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换.(为了在除法时减小误差) 37 max_r = k; 38 for (i = k + 1; i < equ; i++){ 39 if (abs(a[i][col]) > abs(a[max_r][col])) max_r = i; 40 } 41 if (a[max_r][col] == 0){ 42 // 说明该col列第k行以下全是0了,则处理当前行的下一列. 43 k--; 44 continue; 45 } 46 if (max_r != k){ 47 // 与第k行交换. 48 for (j = col; j < var + 1; j++) swap(a[k][j], a[max_r][j]); 49 } 50 for (i = k + 1; i < equ; i++){ 51 // 枚举要删去的行. 52 if (a[i][col] != 0){ 53 54 LCM = lcm(abs(a[i][col]), abs(a[k][col])); 55 ta = LCM / abs(a[i][col]), tb = LCM / abs(a[k][col]); 56 if (a[i][col] * a[k][col] < 0) tb = -tb; // 异号的情况是两个数相加. 57 58 for (j = col; j < var + 1; j++){ 59 a[i][j] = a[i][j] * ta - a[k][j] * tb; 60 } 61 } 62 } 63 } 64 // 1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0). 65 for (i = k; i < equ; i++){ 66 // 对于无穷解来说,如果要判断哪些是自由变元,那么初等行变换中的交换就会影响,则要记录交换. 67 if (a[i][col] != 0) return -1; 68 } 69 // 2. 无穷解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行,即说明没有形成严格的上三角阵. 70 //且出现的行数即为自由变元的个数. 71 if (k < var){ 72 // 首先,自由变元有var - k个,即不确定的变元至少有var - k个. 73 for (i = k - 1; i >= 0; i--) 74 { 75 // 第i行一定不会是(0, 0, ..., 0)的情况,因为这样的行是在第k行到第equ行. 76 // 同样,第i行一定不会是(0, 0, ..., a), a != 0的情况,这样的无解的. 77 free_x_num = 0; // 用于判断该行中的不确定的变元的个数,如果超过1个,则无法求解,它们仍然为不确定的变元. 78 for (j = 0; j < var; j++){ 79 if (a[i][j] != 0 && free_x[j]) free_x_num++, free_index = j; 80 } 81 if (free_x_num > 1) continue; // 无法求解出确定的变元. 82 // 说明就只有一个不确定的变元free_index,那么可以求解出该变元,且该变元是确定的. 83 temp = a[i][var]; 84 for (j = 0; j < var; j++){ 85 86 if (a[i][j] != 0 && j != free_index) temp -= a[i][j] * x[j]; 87 } 88 x[free_index] = temp / a[i][free_index]; // 求出该变元. 89 free_x[free_index] = 0; // 该变元是确定的. 90 } 91 return var - k; // 自由变元有var - k个. 92 } 93 // 3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵. 94 // 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0. 95 for (i = var - 1; i >= 0; i--){ 96 temp = a[i][var]; 97 for (j = i + 1; j < var; j++){ 98 if (a[i][j] != 0) temp -= a[i][j] * x[j]; 99 } 100 if (temp % a[i][i] != 0) return -2; // 说明有浮点数解,但无整数解. 101 x[i] = temp / a[i][i]; 102 } 103 return 0; 104 } 105 106 int main(void){ 107 int i, j; 108 while (scanf("%d %d", &equ, &var) != EOF){ 109 memset(a, 0, sizeof(a)); 110 memset(x, 0, sizeof(x)); 111 memset(free_x, 1, sizeof(free_x)); // 一开始全是不确定的变元. 112 for (i = 0; i < equ; i++){ 113 for (j = 0; j < var + 1; j++){ 114 scanf("%d", &a[i][j]); 115 } 116 } 117 free_num = Gauss(); 118 if (free_num == -1) printf("无解!\n"); 119 else if (free_num == -2) printf("有浮点数解,无整数解!\n"); 120 else if (free_num > 0){ 121 printf("无穷多解! 自由变元个数为%d\n", free_num); 122 for (i = 0; i < var; i++){ 123 if (free_x[i]) printf("x%d 是不确定的\n", i + 1); 124 else printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]); 125 } 126 }else{ 127 for (i = 0; i < var; i++){ 128 printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]); 129 } 130 } 131 printf("\n"); 132 } 133 return 0; 134 }
我就是我,颜色不一样的烟火 --- geloutingyu