cf808E(三分)

题目链接：http://codeforces.com/problemset/problem/808/E

 

题意：给出n个体积为wi, 价值为ci的物品，背包容量为m，求能容纳的最大物品价值，其中 1<=wi<=3；

 

思路：看到题目首先想到了atcoder的一道题http://www.cnblogs.com/geloutingyu/p/6789985.html

然而这里的 n 为 1e5，直接贪心枚举肯定是不行的．可以考虑O(nlogn)的算法．．．

这里可以先按照价值从大到小枚举体积为3的物品，用剩余的容量去装体积为1, 和 2 的物品使剩余空间取得最大值，所有枚举情况中的最大值即为答案；

现在问题转化成了在O(longn)的时间复杂度内求出剩余空间能容纳的1，和２物品最大价值，以物品２的数目为 x 轴，能容纳的最大价值为 y 轴，

将其描点再连成光滑曲线后是一条单峰抛物线 / 单峰拋物线的一侧 ；可以做个简易的证明，对于已经降序排列的物品1, 物品2 显然其单位体积的

价值是非递增的，用 i 表示当前选了 i 个物品2，area2( i )为前 i 个物品平均单位体积的价值，显然 area2( i )是随 i 非递增的，物品１同理，并且这里的容量是固定的，

所以其在以物品２的数目为x轴，最大价值为 y 轴的直角坐标系中的图形为：

　　１，若物品1, 2的体积和不大于背包剩余空间，则其为单峰函数的左侧；

　　２，对于物品1, 2的体积和大于背包剩余空间，有：

　　　　a，若area2(index2) > area1(1)，其中index2为物品2的数目，则其为单峰函数左侧；

　　　　b，若area2(1) < area1(index1)，其中index1为物品1的数目，则其为单峰函数右侧；

　　　　c，其他情况则存在峰；

对于单峰函数直接三分一下物品２的数目即可找峰值，注意这里可能会存在单调的情况(为单峰函数的一侧)，所以还要判断一下边界；

ps：我试了下先枚举物品３再三分物品１的数目wa了，百思不得其解，望路过的大佬指教～

 

代码：

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#define ll long long
using namespace std;

const int MAXN = 3e5+10;
ll a[MAXN], b[MAXN], c[MAXN];
ll va[MAXN], vb[MAXN], vc[MAXN];
int n, m, indxa=1, indxb=1, indxc=1;

bool cmp(ll a, ll b){
    return a > b;
}

void get_v(void){
    for(int i=1; i<=m; i++){
        va[i] = va[i-1] + a[i];
    }
    for(int i=1; i*2<=m; i++){
        vb[i<<1] = vb[(i-1)<<1] + b[i];
        vb[(i<<1)-1] = vb[(i-1)<<1];
    }
    for(int i=1; i*3<=m; i++){
        vc[i*3] = vc[(i-1)*3] + c[i];
    }
}

ll f(int x, int w){
    if(x*2 > w) x=w>>1;
    return vb[x*2] + va[w-x*2];
}

ll find(int w){//三分体积为2的数目
    if(w <= 0) return 0;
    int l=0, r=w, rmid=w, lmid=0;
    while(l < r-2){
        lmid = l+(r-l)/3;
        rmid = r-(r-l)/3;
        if(f(lmid, w) > f(rmid, w)) r = rmid;
        else l = lmid;
    }
    return max(max(max(max(f(l, w), f(r, w)), f(lmid, w)), f(rmid, w)), f(0, w));//***注意这里的边界条件
}

int main(void){
    ll ans=0;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i=0; i<n; i++){
        int x, y;
        scanf("%d%d", &x, &y);
        if(x == 1) a[indxa++] = y;
        else if(x == 2) b[indxb++] = y;
        else c[indxc++] = y;
    }
    sort(a+1, a+indxa, cmp);
    sort(b+1, b+indxb, cmp);
    sort(c+1, c+indxc, cmp);
    get_v();
    for(int i=0; i*3<=m; i++){//枚举体积为3的数目
        ll cnt = vc[i*3];
        cnt += find(m-i*3);
        ans = ans > cnt ? ans : cnt;
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}