51nod1135(求最小原根)

题目链接：https://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1135

 

题意：中文题诶～

 

思路：设m是正整数，a是整数，若a模m的阶等于φ(m)，则称a为模m的一个原根。（其中φ(m)表示m的欧拉函数）给出1个质数P，找出P最小的原根。

我们先了解一下阶的概念：满足 a^r Ξ (1 mod m) ---1 的最小 r 即为 a%m的阶，我们可以直接从小到大枚举a, 然后将 r= φ(m) 带入进去，

判断如果满足  1式（即 a^x%m=1当且仅当 x=r 时成立）的话即为我们所求的答案。又因为输入的 m为质数，所以 r= φ(m)=m-1. 

判断对于当前 a，x=m-1 是否是 a^x%m=1---2 成立的唯一解我们不可能直接从正面枚举每个x，因为我们并不知道是否存在一个数 n, x>n时2式一定不成立，也就是我们不能确定枚举 x 的范围，那么枚举 x 也就无从谈起咯。不过还有有这样一个定理 对 (m-1) 只因分解成 m1, m2, m3....mk，若存在 x=(m-1)/mi 使得式2成立，那么

当前 a 不是 a mod m 的原根。所以我们就可以从反面枚举 x 啦，若当前 a 使得 x=(m-1)/mi （1<=i<=k）对于式2都不满足， 那么当前 a 即为所求解啦～

 

代码： 

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define MAXN 100
using namespace std;

ll prime[MAXN];
int cnt=0;

void make_prime(ll x){
    for(int i=2; i*i<=x; i++){
        if(x%i==0){
            prime[cnt++]=i;
            while(x%i==0){
                x/=i;
            }
        }
    }
    if(x>1){
        prime[cnt++]=x;
    }
}

ll get_pow(ll x, int n, int mod){
    ll ans=1;
    while(n){
        if(n&1){
            ans=ans*x%mod;
        }
        x=x*x%mod;
        n>>=1;
    }
    if(ans<0){
        ans+=mod;
    }
    return ans;
}

int main(void){
    ll m;
    scanf("%lld", &m);
    make_prime(m-1);
    for(int i=2; i<m; i++){
        int flag=1;
        for(int j=0; j<cnt; j++){
            int x=(m-1)/prime[j];
            if(get_pow(i, x, m)==1){
                flag=0;
                break;
            }
        }
        if(flag){
            printf("%d\n", i);
            return 0;
        }
    }
    return 0;
}