强化学习中，蒙特卡洛方法（Monte Carlo, MC）中有两种策略是用来估计状态-动作对（state-action pair）价值的，“initial visit”和“every-visit”这两种策略 的详解

“initial visit”和“every-visit”这两种策略。

这两种策略是蒙特卡洛方法（Monte Carlo, MC）中用来估计状态-动作对（state-action pair）价值的不同方式，主要用于强化学习中。

1. 概念解释

Initial Visit（首次访问策略）

• 定义：在一条完整的轨迹（episode）中，只记录并使用某个状态-动作对（s, a）第一次出现时的回报（return），来更新它的价值估计。
• 核心思想：避免重复计算同一个状态-动作对在同一轨迹中的多次出现，只关注它首次访问时的回报。

Every-Visit（每次访问策略）

• 定义：在一条完整的轨迹中，记录并使用某个状态-动作对（s, a）每次出现时的回报，来更新它的价值估计。
• 核心思想：考虑该状态-动作对在轨迹中的所有出现，累积每次的回报。

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2. 通俗解释

想象你在玩一个迷宫游戏，目标是找到出口，并记录每个位置（状态）和选择（动作）的价值（比如能带来多少奖励）。你在一条路径上可能会多次经过同一个位置并做出相同选择：

• Initial Visit（首次访问）：你只关心第一次经过某个位置并做出某个选择时的最终奖励。比如，你第一次经过位置A并选择向右走，最终得到了10分奖励。你就用这10分来更新A位置向右走的价值。之后在这条路径上即使再次经过A并向右走，你也不再用后续的奖励更新它的价值。
• Every-Visit（每次访问）：你关心每次经过某个位置并做出某个选择时的最终奖励。比如，你经过位置A并向右走第一次得到10分，第二次经过A又向右走得到8分，你会把这两次的奖励（10分和8分）都用来更新A位置向右走的价值。

3. 举例说明

如下一个 3x3 网格，确保路径和计算完全匹配，并详细说明 Initial Visit 和 Every-Visit 策略的计算过程。

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1. 3x3 网格和路径

网格设计

我们用一个 3x3 网格表示迷宫，状态编号为 S1 到 S9：

S1 -- S2 -- S3
|     |     |
S4 -- S5 -- S6
|     |     |
S7 -- S8 -- S9

• 状态：S1, S2, ..., S9。
• 动作：可以选择 "向右"、"向下"、"向左"、"向上"（如果可行）。
• 玩家路径：S1 → S2 → S1 → S4 → S7。
• 轨迹对应的状态-动作对：
  • S1 → S2：(S1, 向右)。
  • S2 → S1：(S2, 向左)。
  • S1 → S4：(S1, 向下)。
  • S4 → S7：(S4, 向下)。
• 奖励：
  • 每一步的即时奖励：
    • S1 → S2：奖励 2。
    • S2 → S1：奖励 1。
    • S1 → S4：奖励 3。
    • S4 → S7：奖励 5。
  • S7 是终点，后续奖励为 0。

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2. 轨迹和累计回报

轨迹

• 路径：S1 → S2 → S1 → S4 → S7。
• 状态-动作对：(S1, 向右) → (S2, 向左) → (S1, 向下) → (S4, 向下)。
• 注意：(S1, 向右) 和 (S1, 向下) 都出现了，但我们关注 (S1, 向右) 的价值估计，因为 (S1, 向下) 只出现了一次。

计算累计回报（Return）

从后向前计算累计回报（无折扣，γ=1）：

• 第 4 步：(S4, 向下) → S7，奖励 5，后续无奖励，累计回报 = 5。
• 第 3 步：(S1, 向下) → S4，奖励 3，后续回报 5，累计回报 = 3 + 5 = 8。
• 第 2 步：(S2, 向左) → S1，奖励 1，后续回报 8，累计回报 = 1 + 8 = 9。
• 第 1 步：(S1, 向右) → S2，奖励 2，后续回报 9，累计回报 = 2 + 9 = 11。

(S1, 向右) 的回报

• (S1, 向右) 只在第 1 步出现，累计回报 = 11。

(S1, 向下) 的回报

• (S1, 向下) 在第 3 步出现，累计回报 = 8。

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3. 修正：关注重复状态-动作对

注意到 (S1, 向右) 只出现了一次，(S1, 向下) 也只出现了一次，轨迹中没有重复的状态-动作对，导致两种策略结果相同。

为了突出差异，我们修改路径，让 (S1, 向右) 重复出现。

新路径

• 路径：S1 → S2 → S5 → S4 → S1 → S2 → S5。
• 轨迹对应的状态-动作对：
  • S1 → S2：(S1, 向右)。
  • S2 → S5：(S2, 向下)。
  • S5 → S4：(S5, 向左)。
  • S4 → S1：(S4, 向上)。
  • S1 → S2：(S1, 向右)。
  • S2 → S5：(S2, 向下)。
• (S1, 向右) 出现了两次：第 1 步和第 5 步。

奖励

• S1 → S2：奖励 2。
• S2 → S5：奖励 1。
• S5 → S4：奖励 3。
• S4 → S1：奖励 4。
• S1 → S2：奖励 2。
• S2 → S5：奖励 1（终点 S5，后续奖励 0）。

累计回报

• 第 6 步：(S2, 向下) → S5，奖励 1，累计回报 = 1。
• 第 5 步：(S1, 向右) → S2，奖励 2，累计回报 = 2 + 1 = 3。
• 第 4 步：(S4, 向上) → S1，奖励 4，累计回报 = 4 + 3 = 7。
• 第 3 步：(S5, 向左) → S4，奖励 3，累计回报 = 3 + 7 = 10。
• 第 2 步：(S2, 向下) → S5，奖励 1，累计回报 = 1 + 10 = 11。
• 第 1 步：(S1, 向右) → S2，奖励 2，累计回报 = 2 + 11 = 13。

(S1, 向右) 的回报

• 第 1 步：累计回报 = 13。
• 第 5 步：累计回报 = 3。

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4. Initial Visit vs Every-Visit

假设初始 Q(S1, 向右) = 0，更新方式为平均。

Initial Visit（首次访问）

• 只考虑 (S1, 向右) 第一次出现（第 1 步）：
  • 累计回报 = 13。
• 访问计数 = 1。
• Q(S1, 向右) = (0 × 0 + 13) / 1 = 13。

Every-Visit（每次访问）

• 考虑 (S1, 向右) 每次出现：
  • 第 1 步：累计回报 = 13。
  • 第 5 步：累计回报 = 3。
• 访问计数 = 2。
• Q(S1, 向右) = (0 × 0 + 13 + 3) / 2 = 16 / 2 = 8。

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5. 差异总结

策略	Q(S1, 向右)	原因
Initial Visit	13	只用第一次访问的回报（13）。
Every-Visit	8	用两次访问的回报（13 和 3），平均值 8。

直观理解

• Initial Visit：只看 (S1, 向右) 第一次出现的回报（13），忽略了后续的回报变化。
• Every-Visit：综合了两次出现的回报（13 和 3），因为第二次出现时后续路径更短，回报较低，导致平均值下降。