2017清北学堂（提高组精英班）集训笔记——基本数论
这是一个很大的专题同时也很重要，所以我十分再十分仔细地写这个笔记，所以有点慢大家别介意。废话不多说进入正题！
一、数论（研究整数性质的东西）：
1.数论的分类（来自百度百科）：
初等数论、解析数论、代数数论、几何数论、计算数论、超越数论、组合数论、算术代数数论。
2.数：
整数、自然数（大于等于0的整数）、正整数（大于0的整数）、负整数、非负整数、非正整数、非零整数、奇数 偶数。
3.Problem 3：
设N为奇数，a1,a2,…,aN为1,2,…,N的一个排列，求证：(a1-1)(a2-2)…(aN-N)≡0(mod 2)。
证明：因为a1,a2,…,aN为1,2,…,N的一个排列，所以a1+a2+…+aN=1+2+…+N，移项，得：(a1-1)+(a2-2)+…+(an-N)=0为偶数，所以(a1-1),(a2-2),…,(an-N)中必定有至少一项为偶数，所以(a1-1)(a2-2)…(an-N)为偶数,即：(a1-1)(a2-2)…(aN-N)≡0(mod 2)。
4.整除性：
设a,b∈Z，如果存在c∈Z并且a=bc，则称b|a（b为a的因子，“|”表示“能整除”）
5.质数：
如果一个数，只有1和自身作为因子的数，叫做质数（素数）。
通论1：存在一个质数p，若p|ab，则p|a或者p|b。
通论2：若p|a或者(p,a)=1（p和a的最大公因子为1），则p|a2 可以推出 p|a。
通论3：用π(x)表示不超过x的质数的个数，可以证：limπ(x)lnx÷x=1，换种通俗说法就是：1~x的质数个数大约为x/lnx（证明时间复杂度时可以用）。
6.Problem 3.141：
求证：当n为合数时，2n-1为合数。
证明：因为n为合数，我们可以令n=ab，则2n-1=(2a-1)·(2n-a+2n-2a+2n-3a+…+2a+1)，原式得证。
还可以看出平方差公式是这个的一个特例。
7.质数的判定：
（1）一个很多人都在用的办法（判断一个较小的数是否为质数）：
1 bool prime(int x)//判断质数 时间复杂度：O(sqrt(x))，最多1012~1014 2 { 3 if(x<2) return false; 4 for(int a=2;a*a<=x;a++) 5 { 6 if(x%a==0) return false;//不是质数 7 } 8 return true;//是质数 9 }
（2）运用费马小定理：
p为一个素数且p不是a的倍数，则有：ap-1≡1(mod p)（不能从右边推到左边）
做法：多次选取a检验p是否满足费马小定理（说明p可能是质数，选的满足条件的a越多，p为质数的可能性越大）。
时间复杂度为：O(klogp)，选取k个a，判断的过程用掉logp，总的加起来为klogp。
特别地，这样的算法有缺陷，因为有Carmichael数的存在，可导致上述算法给出一个错误的判断，例如：561、1105、1729，这三个数满足费马小定理，但是它们都是合数！
这里给出1~10000的Carmichael数：561、1105、1729、2465、2821、6601、8911。
（3）Miller-Rabin算法（判断一个很大的数是否为质数）：
由于Carmichael数的存在，并且Carmichael数是有无穷多个的，那怎么办？打表？肯定不行啊！所以就要加强这个算法！
如果n为素数，取a<n，令n-1=d×2r，则要么ad≡1(mod n)，要么存在一个数i满足：0≤i＜r，使得：ad×2^i≡-1(mod n)，“一个数mod n=-1”可以表示为：“一个数mod n=n-1”，同样地也是不能从右边推到左边。
时间复杂度：O(klogn)
做法：多次选取a检验p是否满足，则是质数的概率就大。（有个好消息：不存在Carmichael数这样的特殊情况！）
例如：12=3*22
1 int a[5]={3,7,11,23,37}//这里选了钟神喜欢的5个质数来检验是否满足条件，如果不够保险的话还可以多加几个 2 bool Miller_Rabin(int n)//从a[]中选出5个a 3 { 4 n-1=d*2^r;//用n-1来确定d、r 5 for(int j=1;j<=5;j++)//这里用了5个小于n的质数a来检验，用质数是因为效果更好！ 6 { 7 if(pow(a[j],d)%n!=1)//不满足第一个条件，pow为快速幂函数，pow(a,b)计算a^b 8 { 9 for(int i=0;i<r;i++) 10 { 11 if(pow(a[j],d*2^i)%n==-1) return true;//第二个条件 12 } 13 return false; 14 } 15 } 16 }
（4）筛法（处理1~n区间内有哪些质数）：
基本做法：给出要筛数值的范围sqrt(n)，找出 sqrt(n)以内的素数p1,p2,p3,…,pk。先用2去筛，即把2留下，把2的倍数剔除掉；再用下一个素数，也就是3筛，把3留下，把3的倍数剔除掉；接下去用下一个素数5筛，把5留下，把5的倍数剔除掉；这样不断重复下去……
①非线性筛法；
1 bool not_prime[1000000];//true表示不是质数，false表示是质数 2 not_prime[1]=true;//1不是质数 3 for(int a=2;a<=n;a++) 4 { 5 for(int b=a+a;b<=n;b+=a) 6 { 7 not_prime[b]=true; 8 } 9 }
时间复杂度：(1/1+1/2+1/3+1/4+…+1/n)*n=nlogn
下面给出了优化版筛法，时间复杂度为：nlog(logn)
算法思路：如果当前这个数是合数，之前已经枚举过比它小的因子，在枚举这个小因子的时候，已经把这个合数的倍数覆盖掉了，所以没必要。
1 bool not_prime[1000000];//优化版非线性筛法 2 not_prime[1]=true;//1不是质数 3 for(int a=2;a<=n;a++) 4 { 5 if(!not_prime[a])//如果是质数，进入循环，是合数就不进入 6 { 7 for(int b=a+a;b<=n;b+=a) 8 { 9 not_prime[b]=true; 10 } 11 } 12 }
②线性筛法：
算法思路：每个合数都由它最小的质因子筛掉（代码第12行）。一个合数会被拆成几个质因子相乘，利用最小的质因子就可以把这个合数筛掉了，避免了重复筛的过程。
1 int not_prime[1000000]; 2 int prime[1000000];//质数表 3 int prime_count=0;//质数的个数 4 memset(not_prime,0,sizeof(not_prime)); 5 not_prime[1]=true;//1不是质数 6 for(int i=2;i<=n;i++) 7 { 8 if(!not_prime[i]) prime[++prime_count]=i;//把i放入质数表prime[]中 9 for(int j=1;j<=prime_count;++j)//枚举质数表中的每一个数 10 { 11 if(prime[j]*i>n) break; 12 not_prime[prime[j]*i]=true;//翻倍，一个数×另一个数一定为合数 13 if(i%prime[j]==0) break; 14 } 15 }
时间复杂度：是线性的，接近于O(n)。
8.最大公因数：
（1）欧几里得算法（辗转相除法）：
原理什么的我就不说了，看代码YY一下就知道啦（详见人教版高中数学必修三）。
1 int gcd(int a,int b)//欧几里得算法 时间复杂度：O(loga) 2 { 3 if(!b) return a; 4 else return gcd(b,a%b); 5 } 6 int gcd(int a,int b)//简化版欧几里得算法 时间复杂度：O(loga) 7 { 8 return b?gcd(b,a%b):a;//一行代码就是爽 9 }
（2）扩展欧几里得算法：
用来在已知的a、b中求解一组x、y，使得ax+by=gcd(a,b)成立（根据数论相关定理，这组解一定存在）
求解过程（引自P2O5 dalao的blog：http://p2oileen.xyz/index.php/2017/06/07/exgcd/）：
设a>b，则有当b=0时，gcd(a,b)=a，此时x=1，y=0。
当ab≠0时，设ax1+by1=gcd(a,b)，因为gcd(a,b)=gcd(b,a%b)，则一定有：bx2(a%b)y2=gcd(b,a%b)=gcd(a,b)=ax1+by1
所以将bx2+(a%b)y2=ax1+by1移项+整理可得：
ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;
根据恒等定理：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;
这样我们就可以通过x2,y2递归求解x1,y1辣！
在gcd不断递归求解的过程中，总会有一个时刻b=0，所以递归是有终止条件的。
递归代码如下：
1 int Ex_Gcd(int a,int b,int &x,int &y) 2 { 3 if(b==0) 4 { 5 x=1; 6 y=0; 7 return a; 8 } 9 int ans=Ex_Gcd(b,a%b,x,y); 10 int t=x; 11 x=y; 12 y=t-a/b*y; 13 return ans;//返回a、b的最大公约数 14 }
9.中国剩余定理（求解一次同余式组）：
原问题：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？
简单地来说：有一个数x≡a1(mod p1)，x≡a2(mod p2)，x≡a3(mod p3)，…，x≡ak(mod pk)，求解一个最小的x。
根据问题，我们可以得出好多好多好多的方程：
x=k1p1+a1；x=k2p2+a2；……
两个方程为一组，解之：
k1p1+a1=k2p2+a2移项得：k1p1-k2p2=a2-a1；
在我们小学的时候，就接触了一个这样的解法，很简单很实用，现在就来模拟一下！
大数翻倍法（一种求解最小公倍数的方法）：
举个栗子：
1 //大数翻倍法 时间复杂度：O(min(p1,p2)) 2 int fanbei(int a1,int p1,int a2,int p2)//p1<p2 3 { 4 ans=a2; 5 while(ans%p1!=a1) ans=ans+p2; 6 return ans; 7 }
根据ans=a2+p1p2≡a2(mod p1)，计算得出时间复杂度为O(min(p1,p2))，也就是说加p1次一定会找到一个解！
10.逆元：
定义：如果gcd(a,m)=1且存在唯一的b使得a×b≡1(mod m)且1≤b＜m，则b为a在模m意义下的逆元，a、b互为逆元。
举个栗子：令a=3，m=7，我们希望找到一个b满足a×b≡1(mod m)且1≤b＜m，不难找到b=5。则5为3在模7意义下的逆元，3、5互为逆元。
逆元的作用：在模的意义下做除法，举个栗子：计算(3×6÷3)mod7的结果，按照一般的顺序可以算出原式=(18÷3)mod7=6mod7=6。我们利用模的性质，可以把原式变为：(((3×6)mod7)÷3)mod7=4÷3mod7。我们发现进行到这里就无法计算了（模意义下不能做除法），这时候就要用到逆元，3的逆元为5，所以原式"4÷3mod7"变为"4×5mod7"，计算得6。
寻找逆元的方法：
①费马小定理：ap-1≡1(mod p)，p为质数，求a的逆元（保证a和p互质）？
两边同除以a得：ap-2≡1/a(mod p)，也就是说，任意一个数a在模质数p意义下的逆元就是ap-2。
②欧拉定理：aφ(m)≡1适用于任何数m，但要保证gcd(a,m)=1，解法和费马小定理相同，φ(m)的意义之后会讲。
11.积性函数：
定义：如果对于gcd(n,m)=1，有f(nm)=f(n)f(m)，则称f为积性函数，例如f(x)=1就是积性函数。
给出一些经典的积性函数：
①σ(n)=Σd|nd：n的所有因子之和
②τ(n)=Σd|n1：n的因子个数
③μ(n)莫比乌斯函数，稍后会讲（详见13点）
④φ(n)欧拉函数：1~n当中与n互质的数的个数，例如φ(6)=2，下面介绍用大约O(n2)的方法求1~n的所有数的φ(ai)：
假设一个数n，求φ(n)？因为n=P1k1·P2k2·…·Prkr → φ(n)=n·(P1-1)/P1·(P2-1)/P2·…·(Pr-1)/Pr。
举两个例子：
30=2*3*5，所以φ(30)=30*(1/2)*(2/3)*(4/5)=8。
160=25*5，所以φ(160)=160*(1/2)*(4/5)=64。
讲了这么多的函数，怎么样用到积性的性质呢？
积性的意义在于：可以在O(n)的时间复杂度内，求出1~n所有数的函数值。
如下的例子（运用在欧拉函数）：我们在O(n)的时间内求出1~n所有数的φ值
要用到线性筛（其他的函数也是差不多——线性筛中加上函数即可）！
1 memset(notprime,0,sizeof(notprime)),notprime[1]=true;//初始化 2 phi[1]=1;//赋初值，φ(1)=1 3 for(int i=2;i<=n;i++) 4 { 5 if(!notprime[i])//是质数 6 { 7 prime[++prime_count]=i; 8 phi[i]=i-1;//如果i是质数，显然和i互质的数有i-1个 9 } 10 for(int j=1;j<=prime_count;++j)//求合数的φ 11 { 12 if(prime[j]*i>n)//考虑prime[j]*i这个合数 13 { 14 break; 15 } 16 not_prime[prime[j]*i]=true; 17 /*根据积性函数定义，有φ(prime[j]*i)=φ(prime[j])*φ(i)，要用积性函数的性质，必须满足prime[j]和i互质*/ 18 if(i%prime[j]!=0)//prime[j]和i互质 19 { 20 phi[prime[j]*i]=phi[prime[j]]*phi[i];//直接利用积性函数性质 21 } 22 else//i是prime[j]的倍数（不互质） 23 { 24 phi[prime[j]*i]=prime[j]*phi[i]; 25 /*把prime[j]*i分成prime[j]段，每段长度为i，那么每一段与i互质的数一样多，根据性质：若a与b互质，那么a+b与b互质，a+2b与b互质，所以在第一段和i互质的数加上i之后还和prime[j]互质，所以整个里面就有prime[j]*phi[i]个数和它是互质的，所以phi[prime[j]*i]=prime[j]*phi[i]*/ 26 } 27 if(i%prime[j]==0) break; 28 } 29 }
12.卷积（这个我是真的不懂）：
f*g=Σd|nf(d)g (n/d)
13.莫比乌斯：
（1）莫比乌斯函数：
含义（三种情况）：拆解一个数n=P1k1*P2k2*P3k3*…*Prkr
①若n=1,μ(n)=1 ②当k1=k2=k3=…kr=1时,μ(n)=(-1)r ③前面两个条件都不满足时,μ(n)=0。
意义：容斥原理必备，多有使用到的地方，希望考虑一下吧。
（2）莫比乌斯反演：
以下两个条件等价：
①对于任意正整数n，f(n)=Σd|ng(d)
②对于任意正整数n，g(n)=Σd|nμ(d)f(n/d)
14.一些东西：
①Σd|nφ(d)=n：一个数的因子的φ加起来等于n。
②Σd|nμ(d)=[n=1]：如果n=1，则n的所有因子的μ值和为1，否则为0。
15.欧拉定理：
费马小定理的推广：aφ(m)≡1(mod m)。
补充一些同余的性质：
①反身性：a≡a(mod m)
②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)
③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)
④同余式相加：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a±c≡b±d(mod m)
⑤同余式相乘：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则ac≡bd(mod m)
经典例题：给定数a、b、p，求ax≡b(mod p)的最小正整数解x。
BSGS算法——“北上广深算法”或“拔山盖世算法”：
令x=im-j,m=⌈sqrt(p)⌉,则aim-j≡b(mod p)，
移项，有：(am)i≡baj(mod p)
首先，从0~m枚举j，将得到的baj的值存入hash表；
然后，从1~m枚举i，计算(am)j，查表，如果有值与之相等，则当时得到的im-j是最小值。
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<algorithm> 5 #include<map> 6 #include<cmath> 7 using namespace std; 8 long long a,b,c,m,f[10000000]; 9 map<long long,int> mp; 10 long long qsm(long long x) //快速幂 11 { 12 long long sum=1; 13 long long aa=a; 14 while(x>0) 15 { 16 if(x&1) 17 sum=(sum*aa)%c; 18 x=x>>1; 19 aa=(aa*aa)%c; 20 } 21 return sum; 22 } 23 int main() 24 { 25 mp.clear();//删除map中的所有元素。 26 while(scanf("%lld%lld%lld",&c,&a,&b)!=EOF) 27 { 28 mp.clear(); 29 if(a%c==0)//判断a,c 是否互质，因为c 是质数，所以直接判断是否整除即可 30 { 31 printf("no solution\n"); 32 continue; 33 } 34 int p=false; 35 m=ceil(sqrt(c)); 36 long long ans; 37 for(int i=0;i<=m;i++) 38 { 39 if(i==0) 40 { 41 ans=b%c; 42 mp[ans]=i; 43 continue; 44 } 45 ans=(ans*a)%c; 46 mp[ans]=i; 47 } 48 long long t=qsm(m); 49 ans=1; 50 for(int i=1;i<=m;i++) 51 { 52 ans=(ans*t)%c; 53 if(mp[ans]) 54 { 55 int t=i*m-mp[ans]; 56 printf("%d\n",(t%c+c)%c); 57 p=true; 58 break; 59 } 60 } 61 if(!p) 62 { 63 printf("no solution\n"); 64 } 65 } 66 }
经典例题：求[l,r]之间的所有素数，1≤l≤r≤109，r-l≤105。
三个解法：
①Miller-Rabin
②线性筛
③SPOJ PRIME1
二、概率：
一些定义和推论：
①Pr[i]表示事件i发生的概率
②Pr[1]+Pr[2]+…Pr[N]=1
③xi表示事件i的权重（自己定义的权重）
④事件xi的期望E[xi]=Pr[i]×xi（i:1~N） 期望=概率×权重
⑤对于独立事件i和j，Pr[i^j]=Pr[i]×Pr[j]，事件i和j的期望是可加的
⑥当事件j已经发生时，事件i发生的概率为：Pr[i|j]=Pr[i^j]/Pr[j]
一个有趣的结论：当太阳已经从东边升起N天后，第N+1天从东边升起的概率：(N+1)/(N+2)。
1.Problem 1：
在小葱和小泽面前有三瓶药，其中有两瓶是毒药一瓶是可乐，每个人必须喝一瓶。
小葱和小泽各自选了一瓶药，小泽手速比较快将药喝了下去，然后就挂掉了。
小葱想活下去，他是应该喝掉手上这瓶药，还是喝掉另外一瓶呢？
我们把瓶子编号为1、2、3，1、2号药是毒药，3号药是可乐。
根据全排列的知识，我们列出6种情况：
1、2、3；1、3、2；
2、1、3；2、3、1；
3、1、2；3、2、1；
由于第一个人是被毒死了，所以只可能是1、2、3；1、3、2；2、1、3；2、3、1；这四种情况，我们发现第二个人喝的是解药的概率为：Pr[是解药]=(1+1)/4=50%。
更简单的想法：小葱选哪个都一样，因为小葱不知道哪个是毒药哪个是可乐。
钟神：显然无所谓！
2.浅谈玛丽莲问题：
美国某娱乐节目的舞台上，台上有三个门，其中一个门后边有汽车，另外两个门后边是山羊，主持人让你任意选择其中一个，然后他打开其余两个门中的一个，你看到的是山羊，这时，主持人会让你重新选择，那么你会坚持原来的选择还是换选另外一个未被打开过的门呢？
分两种情况讨论：
①不换门：抽中汽车的概率是1/3。
②换门：我们编号三个门分别为1、2、3，分别对应羊、羊、车
情况1：假设你第一次猜的那个门是1，主持人必将打开2，选择换门3必能得到车。
情况2：假设你第一次猜的那个门是2，主持人必将打开1，选择换门3必能得到车。
情况3：假设你第一次猜的那个门是3，主持人会打开1或2，你会换1或2号门，得不到车。
综上所述：换门抽中汽车的概率为2/3。
Pr(换门)>Pr(不换门)，所以应该换门！
现在思考：同样是二选一，为什么概率会不同？
因为主持人知道哪个门是羊哪个门是车，上一题中小葱不知道哪瓶是毒药，因为主持人从中作祟，所以概率不同！
3.Problem 2：
小胡站在原点，手里拿着两枚硬币。抛第一枚硬币正面向上的概率为p，第二枚正面向上的概率为q。
小胡开始抛第一枚硬币，每次抛到反面小胡就向x轴正方向走一步，直到抛到正面。
接下来小胡继续抛第一枚硬币，每次抛到反面小胡就向y轴正方向走一步，直到抛到正面。
现在小胡想回来了，于是他开始抛第二枚硬币，如果小胡抛到正面就向x轴的负方向走一步，否则小胡就向y轴的负方向走一步。
现在小胡想知道他在往回走的时候经过原点的概率是多少？
根据定理：往x轴走k步的概率为(1-p)x×p，同理于y轴。
我们可以枚举小胡在第一轮中走到的点(x,y)
小胡走到点(x,y)的概率为(1-p)x+y×p2（乘法原理）
小胡从点(x,y)走回原点的概率为qx×(1-q)y×[(x+y)!/(x!×y!)]。
说明：qx×(1-q)y表示前几步都走x步，后几步都走y步的概率，而实际情况是可以交替着走的，所以我们在后面乘上
（也就是[(x+y)!/(x!×y!)]），才能表示从两种情况中选择往x、y之一走的概率。
所以最终的概率为（对所有情况进行求和）：
这个式子很不好求啊！！肆意展示一下数学功底的时候到了！
我们改变枚举量进行化简！过程如下：
其中：
说明：在以上的推理过程中，打"*"的这一步和红框的推理过程：
①打红框这一步推理：
根据二项式定理，有（字丑不要介意；′⌒`）：
类比一下，有a=q,b=(1-q)，所以原式可以化简为(q+1-q)i=1i=1（太™聪明了啊！！）
②打"*"这一步推理：
直接是等比数列求和即可！
4.Problem 2.333333：
小葱想要过河，过河有两条路：
一条路有100个石头，每个石头有1/100的概率会挂掉。
另一条路有1000个石头，每个石头有1/1000的概率会挂掉。
小葱应该走哪条路呢？（请勿使用计算器）
5.Problem 3（这道题太丑被丢掉了）：
小葱在平面上画了很多条平行等间距为l的直线，小葱将长度为1的针投到这个平面上，求针和直线相交的概率？
典型的蒲丰投针问题：
分情况讨论：
①当l≤1：
②当l>1：
6.Problem 4：
小泽在数轴上的0点处，他每次有r的概率向右走，有1-r的概率向左走，求小泽走到-1处的概率为？
解法：如果直接列式求和计算：大量组合数求和！卡特兰数！级数！（mmp看得我想死）
设到达x-1的概率为p，则p=(1-r)×1+r×p×p 第一步向左走到-1的概率+第一步向右走回到-1的概率（往左走两次到-1）
根据上式，变形得：rp2-p+1-r=0，解方程可得到：p=(1±|2r-1|)/2r，因为有绝对值，所以分类讨论2r和1的关系：
经过紧张又激烈的讨论，我们得出一个分段函数（r都可以取）：
7.Problem 5：
小胡有一棵一个点的树，小胡会给这个点浇水，于是这个点会有𝑝的概率长出两个儿子节点。
每次长出新的节点之后，小胡又会给新的节点浇水，它们也都有𝑝的概率长出两个新的儿子节点。
小胡不希望自己被累死，所以小胡希望知道这棵树的大小是有限的的概率。
解法：这道题和上一题是一毛一样的！
8.经典题1：
给出n行m列矩阵，k次操作，每次操作选取一个子矩阵，子矩阵内的所有矩阵标记，做了k次操作内，被重复标记的标记为已标记。
求：k次操作后，对于左上角坐标为(x,y)的矩形，至少被1个子矩阵包含的概率为多少？
例如：下面一个2×2的矩阵：
当k=1时，有9种标记方法：
而我们总共能够标记1×4+2×4+4×1个矩阵，所以得到的概率为1/9×(1×4+2×4+4×1)=16/9。
推理过程：
假设k=1时，我们来观察一个3×4的矩阵：
要使得A包含这个红色的矩阵B，那么这个矩阵A的左上点和右下点应该在蓝色的区域，这样才能保证完全覆盖红色矩阵。
假设这个矩阵的左上的点为(x,y)，右下的点为(n-x+1,m-y+1)，在这个图形里面总共有：(1+2+3+…+n)=[n×(n+1)×m×(m+1)]/(2×2)个矩阵，并且满足蓝色文字的条件后，矩阵一共有：x×y×(n-x+1)×(m-y+1)个，所以概率为：x×y×(n-x+1)×(m-y+1)/{[n×(n+1)×m×(m+1)]/(2×2)}。
9.经典题2：
有n个点，坐标为(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)，…，(xn,yn)，求一个圆，包含这所有的点，并且保证半径最小。
暴力解法：枚举三个点，算出圆，把剩下的点全部丢进去判断在不在里面，算法复杂度：O(n4)
优化暴力解法O(n3)：
1 for(int a=1;a<=n;a++)//往已知圆内一个一个地丢点 2 { 3 if(!in(p[a])) circle=cir(p[a]);//a不在圆内 4 circle=cir(p[a]);//构造以a位圆心的圆 5 for(int b=1;b<=a;b++) 6 { 7 if(!in(p[b])) circle=cir(p[a],p[b]);//构造以a、b两点为直径的圆 8 for(int c=1;c<=b;c++) 9 { 10 if(!in(c)) circle=cir(p[a],p[b],p[c]);//构造a、b、c三点共圆的圆 11 } 12 } 13 }
最优雅地优化O(n)：利用C++中的一个函数叫：random_shuffle（随机打乱n个点的顺序），可以将时间复杂度优化到O(n)，怎么样？很神奇很诡异吧？？！
思想就是：随机选三个点形成一个圆，于是接下来的那些的点进入下面两个for循环的概率实际上很小！
三、代数：
来一些概念！代数的重要性…
最强大的计算工具
最基本的数学知识
近世代数的贡献
三大不可尺规作图问题
五次及以上的方程没有根式解
同构问题的计数
近代以及现代的加密技术
1.排列和逆序对：
排列的定义：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列，当n=m时，这个排列被称作全排列。
逆序对的定义：τ，设A为一个有n个数字的有序集(n>1)，其中所有数字各不相同，如果存在正整数i,j 使得1≤i<j≤n并且A[i] >A[j]，则<A[i],A[j]>这个有序对称为A的一个逆序对，也称作逆序数。例如τ(3,1,2)=2。
对换的定义：在一个排列中，对换其中某两个数，其余的数不动，得到另一个排列，这种操作称为一个对换。
奇偶排列的定义：如果一个排列的逆序数是偶数，则称此排列为偶排列，否则称为奇排列。
定理：对换改变排列的奇偶性。
定理：在全部的n阶(n≥2)排列中，奇偶排列各占一半。
定理：任意一个排列可经过一系列对换变成自然排列，并且所作对换次数的奇偶性与这个排列的奇偶性相同。
2.行列式（我不知道这玩意儿怎么用）：
定义：N阶行列式是由N2个数aij(i,j=1,2,…,n)通过下式确定的一个数
也称为行列式的完全展开式。
sgn(j1j2…jn)=(-1)τ(j1j2…jn)=
一些引理：
①行列互换，值不变。
②用一个数乘行列式的某行等于用这个数乘此行列式。
③如果行列式中某一行是两组数之和，则这个行列式等于两个行列式之和，这两个行列式分别以这两组数为该行，而其余各行与原行列式对应各行相同。
④对换行列式中两行的位置，行列式为反号。
⑤如果行列式中有两行成比例，则行列式等于0。
⑥把一行的某个倍数加到另一行，行列式的值不变。
3.Cramer法则：
如果线性方程组：
则线性方程组有唯一解xj=Dj÷D(j=1,2,…,n)。
其中：
证明思路：先证明是解，再证明唯一性。
引理：
①若齐次线性方程组：
则方程只有零解。
②如果齐次线性方程组有非零解，则系数行列式必为零。
4.一般线性方程组：
定义①：一般线性方程组：
定义②：方程组的全体解称为方程组的解集合。
定义③：两个有相同解集合的方程组称为同解方程组。
定义④：线性方程组的初等变换（把一个方程组变为同解方程组）：
<1>用一个非零数乘以某个方程。
<2>将一个方程的k倍加到另一个方程上。
<3>交换两个方程的位置。
定义⑤：系数矩阵：
定义⑥：增广矩阵：
定理：对n元非齐次线性方程组的增广矩阵实行高斯消元法，得到阶梯型矩阵：
5.高斯消元法：
思想：变成上三角矩阵！
如果dr+1≠0，方程组无解。
如果dr+1=0，方程组有解。
当r=n时，有唯一解。
当r<n时，有无穷多解。
高斯消元法举例详解：
我们先来看一个例子：
一个方程组：
运用高斯消元，把未知数前的系数和常数列出n×(n+1)的矩阵如下：
我们按照一般的解方程思路，肯定先想到消去x1，即②-①，③-①得：
然后再消去x2，即：③-②×3得：
然后我们保留除最后一列前面的矩阵：
这时，我们得到了一个上三角矩阵（说明有解，若不能化为上三角矩阵，则无解）！我们就可以直接用高斯消元。
∴观察得到的矩阵：x3=21/2，x2=3-2x3=-18，带入x3、x2即可求解得x1。
一个小小的问题：我们一直没有用到最后一列，那要算这一列干啥呢？这是用来方便计算答案的，也就是在构成上三角矩阵后直接利用最后一列的值计算即可（也就是下划线那步）。
再来看一个特例方程组：
按照上题的步骤，我们得到一个矩阵：
观察第一行，第一个数是0，不方便消元，所以我们往下找行，直到找到第一个数不是0为止，然后交换这两行，之后我们就可以开始消元了。
注意：对于第一个例子中的蓝色的"3“怎么得？我们是这样理解的：其实上面的运算"②-①"，"③-①"中，省略了"×1"这个项。我们假设后面的这个项是a，那么a=m[b][a]/m[a][a]（m为矩阵），意思是第b个方程的xa的系数÷第a个方程的xa的系数。
要变成上三角矩阵，就要化简，我们用作为例子，要保证第一行前面0个0，第二行前面有1个0，第三行前面有2个0，以此类推…，所以我们用这行第一个不是0的数÷第一行这一列的数得到这个项即可得到a。
高斯消元代码（修改版，引用自P2O5 dalao：https://zybuluo.com/P2Oileen/note/816892#%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F）：
1 void gauss()//时间复杂度：O(n^3) 2 { 3 //矩阵：m 4 for(int a=1;a<=n;a++) 5 { 6 if(fabs(m[a][a])<=eps) 7 { 8 for(int b=a+1;b<=n;b++)//eps=10^-9 9 { 10 if(fabs(m[b][a])>eps) swap(m[a],m[b]);//fabs用于浮点数,m[a],m[b]是引用//此处有问题，请大佬指正 11 break; 12 } 13 } 14 for(int b=a+1;b<=n;b++) 15 { 16 ratio=m[b][a]/m[a][a]; 17 for(int c=1;c<=n+1;c++)//c可以从a开始循环 18 { 19 m[b][c]-=m[a][c]*ratio; 20 } 21 } 22 } 23 for(int a=n;a>=1;a--) 24 { 25 solution[a]=m[a][n+1]; 26 for(int b=a+1;b<=n;b++) 27 { 28 solution/=m[a][a]; 29 } 30 } 31 }
举个栗子：
f(x)=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f
可以得到f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)，f(6),然后利用高斯消元法就可以解决这个问题了。
高斯消元法自动找规律机：
(1)用高斯消元法打表。
(2)枚举次数，符合表就是正确答案。
6.矩阵：
定义：由mn个数排列成m行n列矩阵的数表
称为一个m×n的矩阵，记做A。其中aij称为第i行第j列的元素。
一些特殊的矩阵种类：
①零矩阵0：所有元素都是0的矩阵。
②对角矩阵：主对角线（左上到右下）以外的数都为0的矩阵。
③单位矩阵I：矩阵对角线上都是1，其余为0。
④纯量矩阵：A=diag(c,c,…,c)。
⑤上三角矩阵：上半部分有值，例如：
⑥下三角矩阵：下半部分有值，例如：
⑦对称矩阵，例如：
⑧反对称矩阵
一些定义：
矩阵的相等：每个位置上的数相等。
矩阵的加法：两个矩阵对应位置元素相加。
矩阵的数量乘法：一个数乘以一个矩阵，矩阵中的每个元素都和这个元素相乘。
矩阵的乘法：设矩阵A=(aij)m×r，矩阵B=(bij)r×n，则矩阵C=(cij)m×n，其中cij=ai1b1j+ai2b2j+…+airbrj。
称为A与B的乘积，记做C=AB。
这里上个代码：
1 for(int a=1;a<=m;a++) 2 { 3 for(int b=1;b<=r;b++) 4 { 5 for(int c=1;c<=n;c++) 6 { 7 m3[a][c]+=m1[a][b]*m2[b][c]; 8 } 9 } 10 }
举个栗子：
和菲波那契的关系：
[fn-1 fn]×
=[fn fn+fn-1]=[fn fn+1]
所以我们要计算[0 1]的斐波那契数列，只要不断地×即可=[fn fn+1]。
特别地，矩阵乘法没有交换律：AB≠BA！
我们还可以结合快速幂进行斐波那契的计算，例如：[0 1]×11，可以进行如下变换：把11的指数11拆成8+2+1，即为23+21+20，然后运用快速幂把这些乘起来即可。
一个小小的问题：这个是怎么推出来的呢？
我们假设有方程f(n)=af(n-1)+bf(n-2)，所以斐波那契就是当a=b=1时的特殊情况，根据矩阵乘法，我们假设这个矩阵为[ ]，并且这个矩阵肯定是2×2的，所以有：[fn fn-1]×
=[fn+1 fn]。所以有fn+1=wfn+yfn-1，fn=xfn+zfn-1，所以：fn+1=afn+bfn-1，fn+1=wfn+yfn-1，→a=w，b=y。
观察方程左右，令x和z等于1和0，即可得出这个[ ]为
=
一个补充的知识点：
则方程组可写为Ax=b。
矩阵乘法的一些性质：
0A=0，A0=0
IA=A，AI=A
A(BC)=(AB)C
A(B+C)=AB+AC
(B+C)A=BA+CA
7.逆矩阵：
定义：设A是n阶方程，如果存在n阶方阵B使得AB=BA=I，则称A是可逆的（或者非奇异的），B是A的一个逆矩阵，否则称A是不可逆的（或奇异的）。
定理：逆矩阵如果存在，则逆矩阵唯一。
定义：det运算符：
定理：设A、B是n阶方程，则：det(AB)=det(A)det(B)
证明的提示：构造
引理：det(A1A2…As)=det(A1)(A2)…(As)。
引理：设A为n阶方阵，AX=0有非零解的充分必要条件是A奇异。
引理：设A为n阶方阵，若∃B为n阶方阵，使得AB=I（或BA=I），则A可逆且A-1=B。
引理：若det(A)≠0，则det(A-1)=(det(A))-1。
求解逆矩阵的方法：
①待定系数法
②公式法：A-1=(1/(det(A)))A*
③定义法：若AB=I，则B=A-1
逆矩阵的性质：
(A-1)-1=A
(AB)-1=B-1A-1
(kA)-1=k-1A-1
定理：设A为n阶方阵，若A可逆，则线性方程组AX=b有唯一解X=A-1b
8.初等变换：
定义：矩阵的初等行/列变换
<1>用一个非零的数乘以某行
<2>将某一行的k倍加到另一行
<3>互换两行
定义：单位阵I经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。
初等矩阵：
定理：用初等矩阵左（右）乘矩阵A，相当于对矩阵A实行相应的初等行（列）变换
定理：初等矩阵都可逆。
定义：若矩阵B可以由矩阵A经过一系列初等变换得到，则称A与B相抵（等价），记做A≌B。
定理：相抵是一种等价关系。
初等变换求逆矩阵：构造一个n×2n的矩阵(AI)
A-1(AI)=(A-1AA-1)=(IA-1)
(AI)→…→(IA-1)一系列的初等变换
最近发现一些网站盗用我的blog，这实在不能忍（™把关于我的名字什么的全部删去只保留文本啥意思。。）！！希望各位转载引用时请注明出处，谢谢配合噢~
