专题——背包问题

　　在这个专题，我为大家带来了一个动态规划中的经典得不能再经典的问题——背包问题，在这个专题我打算讲三类背包问题：01背包、完全背包、多重背包。废话不多说，那我就开始讲解吧O(∩_∩)O~！

01背包问题：

有n个物品，每个物品的重量为weight[i]，每个物品的价值为value[i]。现在有一个背包，它所能容纳的重量为total，问：当你面对这么多有价值的物品时，你的背包所能带走的最大价值是多少？

思路：每个物品无非是装入背包或者不装入背包，那么就一个一个物品陆续放入背包中，可以有：状态转移方程：

tab[i][j] = max(tab[i-1][j-weight[i]]+value[i],tab[i-1][j]) ({i,j|0<i<=n,0<=j<=total})

其中i表示放第i个物品，j表示背包所容纳的重量，那么tab[i-1][j-weight[i]]+value[i]表示放入第i物品，刚开始接触会有疑问，tab[i-1][j-weight[i]]这个值，可以这样理解：tab[i-1][j]为装到上一个物品在背包j容量时的最佳值，那么如果我要求在j容量的时候放入现在的i物品的价值，那么是不是要先得到容量为(j-weight[i])时候的价值，即先得到tab[i-1][j-weight[i]]，所以 tab[i-1][j-weight[i]]+value[i] 为放入第i物品的价值； tab[i-1][j] 就是不放入第i个物品

动态规划的思维就在这里体现了，即tab[i-1][j]是tab[i][j]的最优解(我觉得上面的思路讲解较容易理解)。

例子：5个物品，(重量，价值)分别为：(5，12)，(4，3)，(7，10)，(2，3)，(6，6)。

故有：

for i=[weight[0],total]
    tab[n-1][i]=weight[0]; //n为物品数量
for i=[1,n)
    for j=[weight[i],total]
        tab[n-i-1][j]= max(tab[n-i][j-weight[i]]+value[i],tab[n-i][j])
/*    print tab[0][total]     */

完全背包问题：

有n种物品，每种物品有无限个，每个物品的重量为weight[i]，每个物品的价值为value[i]。现在有一个背包，它所能容纳的重量为total，问：当你面对这么多有价值的物品时，你的背包所能带走的最大价值是多少？

有了上面01背包的式子，这题会变的容易理解很多，只是这个式子要有小小的改动。01背包在二维数组上操作，就是为了防止一个物品被放入多次的情况。因此一维数组可以满足完全背包的问题。如下：

tab[j] = max(tab[j-weight[i]]+value[i],tab[j]);({i,j|0<i<=n,0<=j<=total})

根本就是一样的，只不过物品可以被放多次。

故有：

for i=[0,n)
    for(j=weight[i];j<=total;j++)
        tab[j]=max(tab[j-weight[i]]+value[i],tab[j])
/*    print tab[0][total]    */

多重背包问题：

有n种物品，每种物品有amount[i]个，每个物品的重量为weight[i]，每个物品的价值为value[i]。现在有一个背包，它所能容纳的重量为total，问：当你面对这么多有价值的物品时，你的背包所能带走的最大价值是多少？

多重和完全更接近，多了数量的限制，用一个count[n]计数数组来限制物品i的数量。当放入第i个物品是较优值的时候，count[i]=count[j-weight[i]]+1)j 的含义请查看代码);这样做是因为，放入第i个物品的操作是基于count[j-weight[i]]放入的，所以当count[i-weight[i]]>=amount[i]时，就要阻止放入即便放入第i个物品是较优值。

故有：

for i=[0,n)            /*将count数组清零*/
    for(j=weight[i];j<=total;j++)
        if(count[j-weight[i]]<amout[i])
            tab[j]=max(tab[j-weight[i]]+value[i],tab[j]);
            if(tab[j]=tab[j-weight[i]]+value[i])    
//决定放入i是较优解
                count[i]=count[j-weight[i]]+1
        else if(tab[j]=0)               //防止装第1个物品和装其他物品的情况
            tab[j]=tab[j-1],count[j]=count[j-1]
        else count[j]=count[j-1]
/*    print tab[0][total]    */