专题——极值定理及应用

这次为大家带来数论中一个比较简单但是很重要的专题。

极值定理：

<1>极大极小值定理：

　　极大值：如果N个正数的和X₁+X₂+X₃+…+X_N=S(定值)，那么当X₁=X₂=X₃=…X_N时，乘积Z₁Z₂Z₃…Z_N有最大值：(S/N)^N。

　　极小值：如果N个正数的积X₁X₂X₃…X_N=K(定值)，那么当X₁=X₂=X₃=…X_N时，和X₁+X₂+X₃+…+X_N有最小值：。

<2>最小数原理：

　　假设M是自然数集的一个非空子集，则M中一定有一个最小数。按照某种标准，通过排序处理最小数问题的方法称为“最优策略”。

 

应用举例：

例1：求最小值——极小值定理

题目描述 Description

　　求1/x+x²在x>0时的最小值。

思路：

　　根据极小值原理，原式=1/2x+1/2x+x²，这样就变成了3个正数相加的情况，现在要求极小值，那么我们看看这三个数相乘的结果，(1/2x)×(1/2x)×x²=1/4是一个定值，完全符合极小值定理应用规则，当1/2x=x²时，即x=，有最小值。

例2：容积最大——极大值定理

题目描述 Description

　　有一块边长为A的正方形铁片，要在四角各减去一个同样大小的正方形做无盖盒子，问如何裁剪可使其盒子的容积最大？

思路：

　　设体积为V，减去的小正方形边长为X，那么：V=X×(A-2X)²=1/4×4X×(A-2X)²。

　　因为4X+(A-2X)+(A-2X)=2A为一个定值，就符合极大值原理，当A-2X=4X时，容积V最大，X=A/6。

例3：乘积最大——极大值定理

题目描述 Description

　　将正整数n分成k部分(k≤n)，要求乘积最大最小。

思路：

　　这题就是经典的极大极小值定理综合应用，方法在这，套路不变，还是一样的解法。

　　对于极大值：我们可以把用k整除n，这样就把n平均分成k部分，并且尽可能的保证了X₁+X₂+X₃+…+X_N=S(定值)，但是，如果有余数怎么办？这样很简单，我们可以把余数平均地从头到尾放到前面分解出来的每个因子里面，如18/4，因子为：4、4、4、4，余数为22，把2平均分成两份放到前面两个4中，变成5、5、4、4，这样乘积就最大了。还有一个问题，为什么不能把余数2直接放到4、4、4、4的后面变为4、4、4、4、2呢？这也很简单，把较大因子变大相乘永远比把加数放到后面相乘来得大，这个可以用数学来推导，在这里我就不细说了。

　　对于极小值：只要将n分为k-1个1和一个n-k+1即可，因为要使乘积尽量最小，要尽可能的使得乘积最小值不变，分解为1的原因是因为1和任何数相乘都不变。

例4：最大值——极大值定理

题目描述 Description

　　设正整数m，n，1≤m，n≤1996，且(n²-nm-m²)²=1，求n²+m²的最大值。

思路：

　　根据(n²-nm-m²)²=1两边开方可以得出n²-mn-m²+1=0①和n²-mn-m²-1=0②，根据求根公式，式子①的根n₁n₂为：n₁或n₂=(m+△₁或△₂)/2，式子②的根n₃n₄为：n₃或n₄=(m,-△₁或△₂)/2，其中△₁=，△₂=，由于n＞1,因此排除了n₃和n₄存在的可能性,即n=n₁=(m+△₁)/2或者n=n₂=(m+△₂)/2，又由于n和m是整数,因此△₁和△₂应为整数.同样,(m+△₁)/2 和 (m+△₂)/2也应为整数，由于m²+n²单调递增,因此我们从m=k出发,按递减方向将m值代入n的求根公式.只要△₁（或△₂）为整数,n₁或n₂为整数且小于k,则得出的一组m和n一定使m²+n²的值最大。

　　根据以上结论，若m=1，n=1，则m，n满足方程。

　　令u₁=1，u₂=1，(u₂²-u₂u₁-u₁²)²=1，令u₃=2，(u₃²-u₃u₂-u₂²)²=1…令u_k=u_k-1+u_k-2，代入方程可得(u_k²-u_ku_k-1-u_k-1²)²=1。

　　按照这样就可以得到一个序列{u₁u₂,…,u_k,…}且u₁=1，代入数据，就可以看出序列为：{1,1,2,3,5,8,13,21,…,987,1597},就是斐波那契数列中不超过1996的数列，当n取987，m取1597就可以得到最大值：987²+1597²=3524578