专题——计数原理

由于最近在研究数论，所以这期为大家带来一个数论中的专题——计数原理，下面我们来看四个概念：

一、配对原理：

　　对于集合A、B，如果存在一个一一映射，f：A→B，则|A|=|B|，假如我们很难计算A的值，不如转变方法，先计算B的值，再根据一一映射反推A，这时就需要找到这样一个易于计算的B，这需要很高的技巧。
二、容斥原理：

　　<1>容斥原理

　　把集合A分成子集A₁，A₂，A₃，…,A_m，即：A=A₁∪A₂∪A₃…∪A_m

　　，简单的来说，要求的集合是等于全集减去所有子集相交的重复的部分。

　　<2>逐步淘汰原理

　　设S为集合，A_i为S的子集，记=S-A_i

　　|∩∩…∩|=|S|-|A₁∪A₂∪A₃…∪A_m|

三、算两次：

　　算两次这个很好理解，就是通过两种方法来计算某个值，则这两种方法等价，建立方程，就可以把你想要的求出来。

　　典例：皮克定理：

　　一个计算点阵中顶点在格点上的多边形面积公式：S=a+b÷2-1，其中a表示多边形内部的点数，b表示多边形边界上的点数，S表示多边形的面积

四、polya数：

　　polya计数是计算对称情况下（旋转和镜面反射）不等价的状态。下面给出几种简单情况下的公式，都是考虑对称的图形，而且可以旋转和翻转（镜面反射）。

　　①用p种颜色对一个正五边形顶点着色，共有[p(p²+4)(p²+1)/10]种不同情况。

　　②用p种颜色对一个正四边形顶点着色，共有[(p⁴+2p³+3p²+2p)/8]种不同情况。

　　③用p种颜色对一个正三角形顶点着色，共有[(p³+3p²+2p)/6]种不同情况。

应用举例：

例1：有序拆分的种数——配对原理

题目描述 Description

　　把正整数n表示为若干个正整数之和，和式中的项的不同次序，也是不同的表达式，例如：4=4=3+1=1+3=2+2=2+1+1=1+2+1=1+1+2=1+1+1+1，共有8种表示方法。上面这种表示称为n的有序拆分，把n的有序拆分的种数记为R(n)，请计算R(n)。

思路：

　　将n分解为n个1，排成一排，在这些1之间有n-1个空格，在这n-1个空格处填上‘+’表示将两边的1相加，填上‘-’表示将这个空格废除。这样每一种填‘+’或‘-’的方法对应n个有序拆分，根据配对原理，R(n)等于n-1个空格填‘+’或‘-’的方法数目，填‘-’的方法数明显就是n-1，所以填‘+’的方法数就是2^n-1。

例2：平行四边形的个数——配对原理

题目描述 Description

　　如图（左）所示，把三角形ABC的三边各n等分，过各等分点做各边的平分线，将三角形ABC分割成一些小的平行四边形，计算这些小平行四边形的个数。

思路：

　　先计算不平行于BC的小平行四边形的个数，把这些小平行四边形的集合记为A。

　　如图（右）所示，延长AB至D，取BD=AB/n，延长AC至E，取CE=AB/n。将直线DE平分为n+1段，得到n+2个点（图中我只画出了四个点实际上有六个平分点在DE上）。观察DE边上任意四点组（I，J，K，L）的集合B，过这四点，左边两点向右做平行线，右边亮点向左边做平行线，做AB和AC的平行线，唯一确定一个边不平行于BC的小平行四边形（右图灰色部分）。

　　因此，|A|=|B|=C(n+2,4)，即从DE上的n+2个点选取4个点为一组的方法总数

　　又因为三角形有三边，每一条边都可以做类似选取，所以总的平行四边形的个数就是3×C(n+2,4)。

例3：书架上的书——容斥原理

题目描述 Description

　　在书架上放有编号为1,2,…，n的n本书。现将n本书全部取下然后再放回去，当放回去时要求每本书都不能放在原来的位置上。例如：n=3。

　　原来位置为：1，2，3。

　　放回去时只能为：3，1，2或2，3，1这两种。

　　问题：求当n=5时满足以上条件的方法有多少种？

思路：

　　在前面的“旅行”这个问题中，我讲过了错排问题，这题当然可以用错排问题公式来解，但这个专题是数论中的计数问题，当然要用逼格高一点的数论方法来求解。

　　我们分别用A₁~A₅表示1~5号位现在要求每本书都不能在自己的位置上，也就是求|∩∩∩∩|=|S|-|A_i|+Σ|A_i∩A_j|-|A_i∩A_j∩A_k|+…-(-1)^5-1Σ|A₁∩A₂∩…∩A₅|。