Antiprime数-数论

题目描述 Description

如果一个自然数n满足：所有小于它的自然数的约数个数都小于n的约数个数，则称n是一个Antiprime数。譬如：1、2、4、5、12、24都是Antiprime数。

 输入输出格式 Input/output

输入格式：

输入文件中只有一个整数n(1≤n≤2 000 000 000)。
输出格式：

输出文件中也只包含一个整数，即不大于n的最大Antiprime数。

 输入输出样例 Sample input/output

样例测试点#1

输入样例：

1000
输出样例：

840

思路：

　　这个问题可以转化为求n以内约数最多的数，对于一个n，如果它的质因子越小，那么它能分解的因子个数也就越多，而对于有相同因子数的两个数，较小的那个更具有更新的空间，所以当两个数有相同因子数时，我们取较小一个。

　　根据唯一分解定理，任何一个大于1的数都可以分解为许多质数的乘积，并且根据质因数的个数可以算出约数的个数，公式为：n=P₁^x+P₂^y+P₃^z+P_…^…，这个n的约数个数为(x+1)(y+1)(z+1)(…+1)，那么这题，我们可以从1，从小到大循环，每次分解这个数为质因数，最终找到约数最多的数（约数相同取较少的，因为假如取较大的那个，因为较小的那个在前面，并且约数个数和较大的那个一样，这样就会出现较大的数不满足Antiprime数定义，所以我们取较小的数，这样前面就不会有数来和它冲突），输出即可。

　　但这样会超时，我们不妨做一下优化，逆用唯一分解定理，从小到大枚举每个质因数的使用个数（由数据范围限定最多枚举到23），搜索答案。

　　记住一定要用long long。

代码如下：

#include<cstdio>  
#include<cmath>    
long long n,maxx,num[12]={0,2,3,5,7,11,13,17,19,21,23},ans;  
void findd(long long now,long long tot,long long u,long long v)//当前累计值，当前累计因数个数，上个质因数使用次数，枚举位置 
{  
    if(maxx<tot||(tot==maxx&&ans>now))  
    {  
        maxx=tot;
        ans=now;  
    }  
    if(v>=11) return;  
    for(long long i=1;i<=u;i++)  
    {  
        now*=num[v];  
        if(now>n) return;  
        findd(now,tot*(1+i),i,v+1);  
    }  
}   
int main()  
{   
    scanf("%I64d",&n);  
    findd(1,1,500,1);  
    printf("%I64d\n",ans);  
    return 0;  
}