有理数分解-数论

题目描述 Description

　　任何一个[0,1]中的有理数p/q(p、q均为自然数)一定可以分解成1/r1+1/r2+1/r3+…+1/rk，且r1<r2<r3<…<rk。当然这样的分解不是唯一的，如5/6=1/2+1/3=1/2+1/5+1/8+1/120，第一个分解式中的第二项比第二个分解式中的第二项大，因此我们可以定义第一个分解式比第二个分解式大。

　　程序要求找出p/q的最大分解式。

 输入输出格式 Input/output

输入格式：
键盘输入p、q，1≤p≤q≤50
输出格式：
从小到大依次输出分解式中的每个分母，一行输出一个数

 输入输出样例 Sample input/output

样例测试点#1

输入样例：

5 6
输出样例：

2 3

思路：

假设1/r是能从p/q中分解出来的最大分子为1的真分数，则1/r≤p/q＜1/(r-1)①

又因为p/q-1/r=(p×r-q)/(q×r)②

根据①可知，p×(r-1)<q，所以p×r-p＜q，代入②中可看出，每次待分解的分数的分子一定单调下降，所以就可以用单精度除法(高精度除以普通整数)解决本题。

注意：在输入p、q后要对分数进行化简。

 

代码如下：

#include <stdio.h>
int gcd(int a,int b)//求最大公约数
{
    int r=a%b;
    while(r>0)
    {
        a=b;
        b=r;
        r=a%b;
    }
    return b;
}
int main()
{
    int p,q;
    int cm;//当前最大公约数 
    int r;
    scanf("%d%d",&p,&q);
    while(p>0)
    {
        cm=gcd(p,q);
        if(cm>0)
        {
            /*===========*///化简分数 
            p=p/cm;
            q=q/cm;
            /*===========*/
        }
        if((q%p)>0)//如果不能分解为最终的1/rk 
        {
            r=q/p+1;
        }
        else
        {
            r=q/p;
        }
        printf("%d\n",r);
        p=p*r-q;//减掉 
        q=q*r;
    }
    return 0;
}