偶数矩阵 Even Parity,UVa 11464

题目描述 Description

给你一个n*n的01矩阵（每个元素非0即1），你的任务是把尽量少的0变成1，使得每个元素的上、下、左、右的元素（如果存在的话）之和均为偶数。如图所示的矩阵至少要把3个0变成1，最终如图所示，才能保证其为偶数矩阵。

 输入输出格式 Input/output

输入格式：
输入的第一行为数据组数T（T<30）。每组数据的第一行为正整数n（1 < n < 15）；接下来的n行每行包含n个非0即1的整数，相邻整数间用一个空格隔开。
输出格式：
对于每组数据，输出被改变的元素的最小个数。如果无解，应输出-1。

 输入输出样例 Sample input/output

样例测试点#1

输入样例：

0 0 0

1 0 0

0 0 0

输出样例：

3

 

思路：这道题很经典，经典的枚举也有DP的意味在里面，这里我把书上的思路详细化。

书上谈到：抛弃枚举每个数字的方法，这样很大，大概2²⁵⁵这么多的情况，很大，难以接受，可以考虑枚举第一行，这样有2¹⁵种可能，是可行的，根据第一行算出第二行，以此类推到第n行，时间复杂度降为O(2ⁿ×n²)

点石成金罢了，下面来说说如何具体的做到：

将样例的第一行：

0 0 0

可以通过枚举变成

0 1 0

这样第一行就确定下来了，这时候考虑第二行：

0 1 0

α

考虑一下第一行第一列的0，它的上下左右加和=α+1，那么这时候要保证是偶数，即(α+1)%2==0，所以α=1，这时候看看这个α可不可以由原矩阵A的这个位置的数变化而来（即0→1），合法，此时记上1。

0 1 0

1 α

同样计算第一行第二列，(0+α+0)%2==0，α=0，比较原矩阵，合法，记上0。

0 1 0

1 0 α

同上，合法变换矩阵为：

0 1 0

1 0 1

最终执行完：

0 1 0

1 0 1

0 1 0

 

大致的思路就是这样，要注意的是一些细节之处，比如位运算简化，这样可以使代码简洁很多且运算方便

 

代码如下（书上copy下来且加了点注释的）：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
const int MAXN=20;
const int INF=100000;
int A[MAXN][MAXN],B[MAXN][MAXN];
int n;
int min(int a,int b)
{
    return a>b?b:a;
}
int check(int s)
{
    memset(B,0,sizeof(int));
    for(int c=0;c<n;c++)//枚举第一行 
    {
        if(s&(1<<c)) B[0][c]=1;
        else if(A[0][c]==1) return INF;//不能把1变成0，直接返回 
    }
    for(int r=1;r<n;r++)//从第二行开始依次筛查 
    {
        for(int c=0;c<n;c++)
        {
            int sum=0;//表示上左右三个元素的和 
            if(r>1) sum+=B[r-2][c];
            if(c>0) sum+=B[r-1][c-1];
            if(c<n-1) sum+=B[r-1][c+1];
            B[r][c]=sum%2;
            if(A[r][c]==1&&B[r][c]==0) return INF;//违法，不能把1变为0 
        }
    }
    int cnt=0;
    for(int r=0;r<n;r++)
    {
        for(int c=0;c<n;c++)
        {
            if(A[r][c]!=B[r][c]) cnt++;
        }
    }
    return cnt;
} 
int main()
{
    int r,c;//行、列
    int i,j;
    int T;
    int ans=INF;//初始化为最大值 
    scanf("%d",&T);
    while(T)
    {
        ans=INF;
        scanf("%d",&n);
        for(i=0;i<n;i++)
        {
            for(j=0;j<n;j++)
            {
                scanf("%d",&A[i][j]);
            }
        }
        for(int s=0;s<(1<<n);s++)//1<<n等于2^n，不用pow，比较方便 
        {
            ans=min(ans,check(s));//不断更新最小ans 
        }
        if(ans==INF) ans=-1;//没找到答案 
        printf("%d %d\n",T,ans);
        T--;
    } 
    return 0;
}