HDU 2588 GCD

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题意：

　　第一行输入T，表示有T组数据。然后每一行输入N和M，分别表示所要求数的范围为1~N，比较值为M。

　题目意思很简单，就是求解，在数的范围内X∈[1~N],存在多少个X使得GCD(X,N)>=M，统计X符合要求的个数。

　用膝盖骨想想也知道，如果直接暴力遍历N次，每次操作的复杂度高达10^9,肯定会超时的。常规的方法肯定不行。

 

思路： 

我们仔细观察可得，N=a*d，X=b*d。（d即为N与X的最大公约数），题意要求的便是d≥m的情况。

  转换一下思维：因为X=b*d，而题意要求的是d≥m的情况有多少，换句话即是，要求有多少个b。再来看看，N=a*d，X=b*d。

  即a与b互质，那么便可使用欧拉函数了，欧拉函数的定义是：a的欧拉函数便是与a互质并且小于a的所有数的个数。

  但是单单枚举a的欧拉函数还是会超时，那怎么办呢？可以采用二分的方法。

  当i<√N时，我们假设d=N/i，那么此时，a=i；

  如此可得当i>√N时，有a=n/i，d=i；

  当i=√N时，a*d=N；

 

源程序：

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <vector>
#include <queue>
#include <string>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

int euler(int n)//欧拉公式
{
    int res=n;
    for(int i=2;i*i<=n;i++)
        {
            if(n%i==0)
        {
           res -= res/i;
           while(n%i==0) n/=i;
        }
    }
    if(n>1) res-=res/n;
    return res;
}

int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        int n,m;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        int ans=0;
        for(int i=1;i*i<=n;i++)
            {
                if(n%i==0)
            {
                if(i>=m)ans+=euler(n/i); //计算sqrt(n)左边的
                if(n/i>=m&&i*i!=n) ans+=euler(i);//计算sqrt(n)右边的i*i==n时，在上个语句已经执行
            }
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}